Desigualdad de Ptolomeo

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Matías V5

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Desigualdad de Ptolomeo

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 21 Mar, 2012 4:19 pm

En todo cuadrilátero [math] se cumple que [math]. Más aún, la igualdad vale si y sólo si [math] es cíclico.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Nacho

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Re: Desigualdad de Ptolomeo

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 31 Mar, 2012 6:21 pm

http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?p=396#p396

Ahí Vladislao demostró el caso de igualdad. La desigualdad se ve fácil de la misma manera: Invertimos por [math] y un radio [math]. Ahora, [math] se va a [math], [math] a [math] y [math] a [math]. Se va a cumplir por desigualdad triangular que [math]. Utilizando la fórmula de la distancia y multiplicando y dividiendo como hace Vladislao en el post que cite, llegamos a la conclusión deseada.
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Peznerd
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Re: Desigualdad de Ptolomeo

Mensaje sin leer por Peznerd » Mar 30 Oct, 2018 10:28 am

No entiendo cómo me doy cuenta cuando un cuadrilátero o un polígono es cíclico y cuándo no. Sé que es cíclico si y sólo si la circunferencia circunscripta pasa por todos sus vértices, pero no me entero de una forma fácil de verlo (sé que resulta obvio si se trata de un cuadrado o un triángulo, pero hasta ahí llegué)
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

ricarlos
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Re: Desigualdad de Ptolomeo

Mensaje sin leer por ricarlos » Mar 30 Oct, 2018 6:13 pm

Tranquilo, ya lo vas a entender.
Creo que lo q estas diciendo es que si vez que sus cuatro vertices estan sobre una circunferencia puedes ver que es ciclico, bien, ahora tenes un cuadrilatero (suponemos convexo) ABCD y no ves ninguna circunferencia:
<ABC+<ADC=180, o <BCD+<BAD=180 es decir angulos opuestos suman 180, es ciclico.
<CBD=<CAD, <ABD=<ACD, <CDB=<CAB, <ACB=<ADB, con saber cualquiera entonces es ciclico.
Si <ADC es igual al angulo exterior en B (se deduce de la primera) que ABCD es ciclico.
Si las diagonales intersectan en E y luego se cumple EA*EC=EB*ED entonces es ciclico,
etc.
Trata de leer sobre angulos en una circunferencia y esas cosas.
1  
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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