Conjugados Isogonales
Conjugados Isogonales
Dado un triángulo [math] y dos puntos [math] y [math] decimos que son conjugados isogonales si [math], [math] y [math].
Ejemplo: En todo triángulo [math], el ortocentro [math] y el circuncentro [math] son conjugados isogonales.
Dado un punto [math] existe un único punto [math] tal que [math] y [math] son conjugados isogonales (por eso se suele decir que "Sea [math] el conjugado isogonal de [math]" o "entonces [math] es el conjugado isogonal de [math]").
Teorema: Sean [math] un triángulo y [math], [math] puntos tales que [math], [math].
Entonces [math] (o sea que [math] y [math] son conjugados isogonales).
Del teorema se sigue la afirmación anterior: dado un punto [math] existe un único punto [math] tal que [math] y [math] son conjugados isogonales. Además muestra cómo construirlo.
Ejemplo: En todo triángulo [math], el ortocentro [math] y el circuncentro [math] son conjugados isogonales.
Dado un punto [math] existe un único punto [math] tal que [math] y [math] son conjugados isogonales (por eso se suele decir que "Sea [math] el conjugado isogonal de [math]" o "entonces [math] es el conjugado isogonal de [math]").
Teorema: Sean [math] un triángulo y [math], [math] puntos tales que [math], [math].
Entonces [math] (o sea que [math] y [math] son conjugados isogonales).
Del teorema se sigue la afirmación anterior: dado un punto [math] existe un único punto [math] tal que [math] y [math] son conjugados isogonales. Además muestra cómo construirlo.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Re: Conjugados Isogonales
Demostración del teorema:
Pongamos [math], [math], [math].
Sean [math] en [math], [math] en [math], [math] en [math] tales que [math], [math], [math].
El teorema equivale a probar que [math], [math] y [math] concurren en un punto (que es precisamente [math]).
Por la extensión del teorema del seno, [math] y [math].
Luego [math]. Del mismo modo, [math] y [math].
Multiplicando las tres igualdades tenemos
[math] por el teorema de ceva.
Luego por el teorema de ceva, [math], [math] y [math] concurren.
Pongamos [math], [math], [math].
Sean [math] en [math], [math] en [math], [math] en [math] tales que [math], [math], [math].
El teorema equivale a probar que [math], [math] y [math] concurren en un punto (que es precisamente [math]).
Por la extensión del teorema del seno, [math] y [math].
Luego [math]. Del mismo modo, [math] y [math].
Multiplicando las tres igualdades tenemos
[math] por el teorema de ceva.
Luego por el teorema de ceva, [math], [math] y [math] concurren.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Re: Conjugados Isogonales
Conjugados isogonales sobre el incirculo.Ivan escribió: Teorema: Sean [math] un triángulo y [math], [math] puntos tales que [math], [math].
Entonces [math] (o sea que [math] y [math] son conjugados isogonales).
Sean [math] un triangulo y [math] su incirculo con centro [math]. (Sea [math] el [math]-excentro)
Sea [math] la circunscrita al triangulo [math]. Sea [math].
Se puede ver que [math] (inradio) entonces los arcos respectivos son iguales y de alli que [math], asi como [math] eso conduce a [math] y [math]. Queda asi probado que [math] y [math] son conjugados isogonales (sobre el incirculo). En este dibujo se muestran los 3 pares de puntos conjugados isogonales sobre el incirculo: (P, P'); (R, R'); (T, T').
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
-
Gianni De Rico
- Mensajes: 2212
- Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
- Medallas: 18
- Nivel: Exolímpico
- Ubicación: Rosario
- Contactar:
Re: Conjugados Isogonales
Otra forma de probar la igualdad que usa Ivan
Demostración:
Manteniendo la notación de Ivan, sean $Q$ el segundo punto de intersección de $AD$ y el circuncírculo de $ABC$, y $Q'$ el segundo punto de intersección de $AD'$ y el circuncírculo de $ABC$.
Tenemos entonces por arco capaz que$$\begin{align*}\angle DBA & =\angle CBA=\angle CQ'A \\
\angle D'BA & =\angle CBA=\angle CQA \\
\angle AQB & =\angle ACB=\angle ACD' \\
\angle AQ'B & =\angle ACB=\angle ACD
\end{align*}$$lo cual combinado con $\angle BAD=\angle D'AC$ nos da las siguientes semejanzas$$\begin{align*}ABD\simeq AQ'C & \Rightarrow \frac{BD}{Q'C}=\frac{AB}{AQ'} \\
ABD'\simeq AQC & \Rightarrow \frac{BD'}{QC}=\frac{AB}{AQ} \\
ABQ\simeq AD'C &\Rightarrow \frac{BQ}{D'C}=\frac{AQ}{AC} \\
ABQ'\simeq ADC & \Rightarrow \frac{BQ'}{DC}=\frac{AQ'}{AC}
\end{align*}$$pero como $\angle BAQ=\angle BAD=\angle D'AC=\angle Q'AC$, entonces $BQ=Q'C$ y $BQ'=QC$, por lo tanto, multiplicando todas las igualdades anteriores y simplificando obtenemos $\dfrac{BD}{DC}\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{BA^2}{AC^2}$.
Demostración:
Manteniendo la notación de Ivan, sean $Q$ el segundo punto de intersección de $AD$ y el circuncírculo de $ABC$, y $Q'$ el segundo punto de intersección de $AD'$ y el circuncírculo de $ABC$.
Tenemos entonces por arco capaz que$$\begin{align*}\angle DBA & =\angle CBA=\angle CQ'A \\
\angle D'BA & =\angle CBA=\angle CQA \\
\angle AQB & =\angle ACB=\angle ACD' \\
\angle AQ'B & =\angle ACB=\angle ACD
\end{align*}$$lo cual combinado con $\angle BAD=\angle D'AC$ nos da las siguientes semejanzas$$\begin{align*}ABD\simeq AQ'C & \Rightarrow \frac{BD}{Q'C}=\frac{AB}{AQ'} \\
ABD'\simeq AQC & \Rightarrow \frac{BD'}{QC}=\frac{AB}{AQ} \\
ABQ\simeq AD'C &\Rightarrow \frac{BQ}{D'C}=\frac{AQ}{AC} \\
ABQ'\simeq ADC & \Rightarrow \frac{BQ'}{DC}=\frac{AQ'}{AC}
\end{align*}$$pero como $\angle BAQ=\angle BAD=\angle D'AC=\angle Q'AC$, entonces $BQ=Q'C$ y $BQ'=QC$, por lo tanto, multiplicando todas las igualdades anteriores y simplificando obtenemos $\dfrac{BD}{DC}\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{BA^2}{AC^2}$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫