Conjugados Isogonales

Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador-Varias
Mensajes: 1021
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Conjugados Isogonales

Mensaje sin leer por Ivan » Mar 06 Mar, 2012 2:27 am

Dado un triángulo [math] y dos puntos [math] y [math] decimos que son conjugados isogonales si [math], [math] y [math].

Ejemplo: En todo triángulo [math], el ortocentro [math] y el circuncentro [math] son conjugados isogonales.

Dado un punto [math] existe un único punto [math] tal que [math] y [math] son conjugados isogonales (por eso se suele decir que "Sea [math] el conjugado isogonal de [math]" o "entonces [math] es el conjugado isogonal de [math]").

Teorema: Sean [math] un triángulo y [math], [math] puntos tales que [math], [math].
Entonces [math] (o sea que [math] y [math] son conjugados isogonales).

Del teorema se sigue la afirmación anterior: dado un punto [math] existe un único punto [math] tal que [math] y [math] son conjugados isogonales. Además muestra cómo construirlo.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador-Varias
Mensajes: 1021
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: Conjugados Isogonales

Mensaje sin leer por Ivan » Mar 06 Mar, 2012 2:50 am

Demostración del teorema:

Pongamos [math], [math], [math].

Sean [math] en [math], [math] en [math], [math] en [math] tales que [math], [math], [math].

El teorema equivale a probar que [math], [math] y [math] concurren en un punto (que es precisamente [math]).

Por la extensión del teorema del seno, [math] y [math].

Luego [math]. Del mismo modo, [math] y [math].

Multiplicando las tres igualdades tenemos

[math] por el teorema de ceva.

Luego por el teorema de ceva, [math], [math] y [math] concurren.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

ricarlos
Mensajes: 400
Registrado: Lun 17 Dic, 2012 2:24 pm

Re: Conjugados Isogonales

Mensaje sin leer por ricarlos » Lun 01 Ago, 2016 5:28 pm

Ivan escribió: Teorema: Sean [math] un triángulo y [math], [math] puntos tales que [math], [math].
Entonces [math] (o sea que [math] y [math] son conjugados isogonales).
Conjugados isogonales sobre el incirculo.

Sean [math] un triangulo y [math] su incirculo con centro [math]. (Sea [math] el [math]-excentro)
Sea [math] la circunscrita al triangulo [math]. Sea [math].
Se puede ver que [math] (inradio) entonces los arcos respectivos son iguales y de alli que [math], asi como [math] eso conduce a [math] y [math]. Queda asi probado que [math] y [math] son conjugados isogonales (sobre el incirculo).
ISO.png
En este dibujo se muestran los 3 pares de puntos conjugados isogonales sobre el incirculo: (P, P'); (R, R'); (T, T').
iso2.png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020
COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 1293
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Conjugados Isogonales

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 22 Jun, 2020 1:11 pm

Otra forma de probar la igualdad que usa Ivan

Demostración:

Manteniendo la notación de Ivan, sean $Q$ el segundo punto de intersección de $AD$ y el circuncírculo de $ABC$, y $Q'$ el segundo punto de intersección de $AD'$ y el circuncírculo de $ABC$.
Tenemos entonces por arco capaz que$$\begin{align*}\angle DBA & =\angle CBA=\angle CQ'A \\
\angle D'BA & =\angle CBA=\angle CQA \\
\angle AQB & =\angle ACB=\angle ACD' \\
\angle AQ'B & =\angle ACB=\angle ACD
\end{align*}$$lo cual combinado con $\angle BAD=\angle D'AC$ nos da las siguientes semejanzas$$\begin{align*}ABD\simeq AQ'C & \Rightarrow \frac{BD}{Q'C}=\frac{AB}{AQ'} \\
ABD'\simeq AQC & \Rightarrow \frac{BD'}{QC}=\frac{AB}{AQ} \\
ABQ\simeq AD'C &\Rightarrow \frac{BQ}{D'C}=\frac{AQ}{AC} \\
ABQ'\simeq ADC & \Rightarrow \frac{BQ'}{DC}=\frac{AQ'}{AC}
\end{align*}$$pero como $\angle BAQ=\angle BAD=\angle D'AC=\angle Q'AC$, entonces $BQ=Q'C$ y $BQ'=QC$, por lo tanto, multiplicando todas las igualdades anteriores y simplificando obtenemos $\dfrac{BD}{DC}\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{BA^2}{AC^2}$.
Queda Elegantemente Demostrado

Responder