Teorema de Apolonio
Teorema de Apolonio
Dados dos puntos [math] y [math], el lugar geométrico de los puntos [math] tales que [math] es una circunferencia, siempre que [math]. (Si [math] dicho lugar geométrico es la mediatriz de [math]).
Para construir esta circunferencia, basta tener los puntos [math] e [math] en la recta [math] tales que [math]. La circunferencia de Apolonio es la que tiene como diámetro [math]. Para construir estos puntos puede usarse el Teorema de Thales.
Idea para construirla de otra forma: Sea [math] un triángulo, y sean [math] y [math] los pies de las bisectrices interior y exterior desde [math], sea [math]. Entonces, por el Teorema de la bisectriz, resulta que [math]. En particular, los puntos [math], [math] e [math] son puntos que satisfacen la condición [math]. Como el conjunto de todos estos puntos es una circunferencia, y [math], [math] y [math] están en esa circunferencia, es claro que la circunferencia de Apolonio es la de diámetro [math].
Para construir esta circunferencia, basta tener los puntos [math] e [math] en la recta [math] tales que [math]. La circunferencia de Apolonio es la que tiene como diámetro [math]. Para construir estos puntos puede usarse el Teorema de Thales.
Idea para construirla de otra forma: Sea [math] un triángulo, y sean [math] y [math] los pies de las bisectrices interior y exterior desde [math], sea [math]. Entonces, por el Teorema de la bisectriz, resulta que [math]. En particular, los puntos [math], [math] e [math] son puntos que satisfacen la condición [math]. Como el conjunto de todos estos puntos es una circunferencia, y [math], [math] y [math] están en esa circunferencia, es claro que la circunferencia de Apolonio es la de diámetro [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Re: Teorema de Apolonio
Otra demostración:
Considerar [math] en [math] tal que [math] e invertir con centro en [math].
Queda que: [math] está en la mediatriz de [math].
Entonces el lugar es el inverso de la mediatriz de [math], que es un círculo.
Alguien con ganas de postear los detalles?
Considerar [math] en [math] tal que [math] e invertir con centro en [math].
Queda que: [math] está en la mediatriz de [math].
Entonces el lugar es el inverso de la mediatriz de [math], que es un círculo.
Alguien con ganas de postear los detalles?
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Re: Teorema de Apolonio
Posicion y Radio de la Circunferencia de Apolonio en funcion de la distancia [math] y la razon [math].
[math]
Desarrollamos y llegamos a
[math]
Hacemos,
[math]
[math]
y tenemos,
[math], cuyas raices son
[math]
[math]
Radio
[math]
Coordenadas del Centro, [math]
[math]
[math]
Desarrollamos y llegamos a
[math]
Hacemos,
[math]
[math]
y tenemos,
[math], cuyas raices son
[math]
[math]
Radio
[math]
Coordenadas del Centro, [math]
[math]
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
-
Vladislao
- Mensajes: 808
- Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
- Medallas: 6
- Nivel: Exolímpico
- Ubicación: Córdoba
Re: Teorema de Apolonio
Es casualmente muy fácil probar esta propiedad usando geometría analítica. El post de ricarlos tiene una onda parecida pero apunta a otra cosa.
Nota: Es, como mínimo, simpático que la expresión resultante no manifieste absolutamente ningún problema (el radio de la circunferencia es positivo). Además, la salvedad de [math] revela claramente que en ese caso el lugar geométrico no es una circunferencia, dado que se obtiene la mediatriz del segmento [math]. (Ahí agregué en el post de Iván ese casito molesto).
Nota: Es, como mínimo, simpático que la expresión resultante no manifieste absolutamente ningún problema (el radio de la circunferencia es positivo). Además, la salvedad de [math] revela claramente que en ese caso el lugar geométrico no es una circunferencia, dado que se obtiene la mediatriz del segmento [math]. (Ahí agregué en el post de Iván ese casito molesto).
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
-
Gianni De Rico
- Mensajes: 2212
- Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
- Medallas: 18
- Nivel: Exolímpico
- Ubicación: Rosario
- Contactar:
Re: Teorema de Apolonio
Sin proyectiva, inversión, ni analítica
Demostración:
Demostración:
♪♫ do re mi función lineal ♪♫