Teorema de la bisectriz
-
Vladislao
- Mensajes: 808
- Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
- Medallas: 6
- Nivel: Exolímpico
- Ubicación: Córdoba
Teorema de la bisectriz
El teorema de la bisectriz es un resultado muy útil.
Teorema de la bisectriz:
Sea [math] un triángulo y [math] en [math] tal que [math] es bisectriz (interior o exterior) de [math]. El teorema de la bisectriz dice que [math].
Además vale el recíproco:
Sea [math] un triángulo y [math] un punto en [math] que cumple [math]. El (recíproco del) teorema de la bisectriz dice que [math] es el pie de una de las bisectrices de [math] (es el pie de la bisectriz interior si está en el segmento [math] y de la exterior si está en la prolongación).
Demostración: Otra demostración: Una consecuencia útil del teorema de la bisectriz:
Si [math] es la bisectriz interior de [math] entonces [math] y [math].
Un problema que posee una solución (entre otras) utilizando el teorema de la bisectriz es éste (corresponde al 2do Nivel de la Instancia Nacional de OMA de 2010).
Teorema de la bisectriz:
Sea [math] un triángulo y [math] en [math] tal que [math] es bisectriz (interior o exterior) de [math]. El teorema de la bisectriz dice que [math].
Además vale el recíproco:
Sea [math] un triángulo y [math] un punto en [math] que cumple [math]. El (recíproco del) teorema de la bisectriz dice que [math] es el pie de una de las bisectrices de [math] (es el pie de la bisectriz interior si está en el segmento [math] y de la exterior si está en la prolongación).
Demostración: Otra demostración: Una consecuencia útil del teorema de la bisectriz:
Si [math] es la bisectriz interior de [math] entonces [math] y [math].
Un problema que posee una solución (entre otras) utilizando el teorema de la bisectriz es éste (corresponde al 2do Nivel de la Instancia Nacional de OMA de 2010).
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
- No, manzana
- Mensajes: 68
- Registrado: Jue 10 Mar, 2011 5:51 pm
- Nivel: Exolímpico
- Ubicación: Cordoba x2
- Contactar:
Re: Teorema de la bisectriz
Intentando hacer un problema encontre otra demostracion al teorema de la bisectriz interior.
Las definiciones seran casi las mismas, sea un [math] y sea [math], la interseccion de [math] con la bisectriz [math] del [math]. Podemos suponer sin perder generalidad que [math], sea [math] la perpendicular a [math] trasada desde [math], [math] la interseccion de la recta [math] con [math], [math] la interseccion de [math] con [math] y [math] el pie de la altura de [math] en [math].
Los triangulos [math] y [math], tienen [math] y ademas son rectangulos, por lo que ambos son semejantes y:
Los triangulos [math] y [math], tienen por definicion [math] y ademas son rectangulos, por lo que ambos son semejantes y:
Para probar el teorema de la bisectriz exterior:
Sea [math] tal que [math], sea [math] el punto de interseccion de la recta [math] con la bisectriz exterior de [math].
Podemos suponer sin perder generalidad que [math] esta entre [math] y [math]. Sea [math]. Veamos que [math].
Por el teorema del seno en [math], obtenemos:
Las definiciones seran casi las mismas, sea un [math] y sea [math], la interseccion de [math] con la bisectriz [math] del [math]. Podemos suponer sin perder generalidad que [math], sea [math] la perpendicular a [math] trasada desde [math], [math] la interseccion de la recta [math] con [math], [math] la interseccion de [math] con [math] y [math] el pie de la altura de [math] en [math].
Los triangulos [math] y [math], tienen [math] y ademas son rectangulos, por lo que ambos son semejantes y:
[math]
Los triangulos [math] y [math], tienen por definicion [math] y ademas son rectangulos, por lo que ambos son semejantes y:
[math]
Igualando las ultimas proporciones obtenemos [math] que era lo que queriamos probar.Para probar el teorema de la bisectriz exterior:
Sea [math] tal que [math], sea [math] el punto de interseccion de la recta [math] con la bisectriz exterior de [math].
Podemos suponer sin perder generalidad que [math] esta entre [math] y [math]. Sea [math]. Veamos que [math].
Por el teorema del seno en [math], obtenemos:
[math]
Por el teorema del seno en [math], obtenemos:[math]
Igualando las ultimas proporciones obtenemos [math] que era lo que queriamos probar.- Martín Vacas Vignolo
- Mensajes: 404
- Registrado: Mié 15 Dic, 2010 6:57 pm
- Nivel: Exolímpico
Re: Teorema de la bisectriz
Dejo otra demo del teorema... Creo que es mucho más visual para entender lo que pasa...
- Spoiler: mostrar Marcamos
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]
Re: Teorema de la bisectriz
Otra demo con semejanza
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
-
Gianni De Rico
- Mensajes: 2212
- Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
- Medallas: 18
- Nivel: Exolímpico
- Ubicación: Rosario
- Contactar: