Teorema de la bisectriz

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Vladislao

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Teorema de la bisectriz

Mensaje sin leer por Vladislao »

El teorema de la bisectriz es un resultado muy útil.

Teorema de la bisectriz:
Sea [math] un triángulo y [math] en [math] tal que [math] es bisectriz (interior o exterior) de [math]. El teorema de la bisectriz dice que [math].


Además vale el recíproco:
Sea [math] un triángulo y [math] un punto en [math] que cumple [math]. El (recíproco del) teorema de la bisectriz dice que [math] es el pie de una de las bisectrices de [math] (es el pie de la bisectriz interior si está en el segmento [math] y de la exterior si está en la prolongación).




Demostración:
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Martín Vacas Vignolo escribió: Imagen

Marcamos [math] en la prolongación de [math] para que [math]. Luego, por angulitos como muestra la figura, los siguientes triángulos son semejantes:
(1) [math]
(2) [math]
(3) [math]

De plantear la semejanza entre (2) y (3) tenemos: [math]. (I)
De plantear la semejanza entre (1) y (3) tenemos: [math]. (II)

Reordenando (II) y comparando con (I) tenemos lo que queremos.
Otra demostración:
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Supongamos que [math] es bisectriz.

Por el Teorema del Seno en el triángulo [math], tenemos que:

[math] (1)

Por el Teorema del Seno en el triángulo [math], tenemos que:

[math] (2)

Notemos que [math], por ser [math] bisectriz.

Y notemos también que [math].

Dividiendo (1) y (2) tenemos

[math]

que es lo que queríamos probar.

La vuelta sigue del hecho de que mover el punto [math] hace que [math] aumente o disminuya (dependiendo de para donde se mueve [math]).

La demostración para la bisectriz exterior es exactamente igual.
Una consecuencia útil del teorema de la bisectriz:
Si [math] es la bisectriz interior de [math] entonces [math] y [math].

Un problema que posee una solución (entre otras) utilizando el teorema de la bisectriz es éste (corresponde al 2do Nivel de la Instancia Nacional de OMA de 2010).
2  
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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No, manzana
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Re: Teorema de la bisectriz

Mensaje sin leer por No, manzana »

Intentando hacer un problema encontre otra demostracion al teorema de la bisectriz interior.

Las definiciones seran casi las mismas, sea un [math] y sea [math], la interseccion de [math] con la bisectriz [math] del [math]. Podemos suponer sin perder generalidad que [math], sea [math] la perpendicular a [math] trasada desde [math], [math] la interseccion de la recta [math] con [math], [math] la interseccion de [math] con [math] y [math] el pie de la altura de [math] en [math].

Los triangulos [math] y [math], tienen [math] y ademas son rectangulos, por lo que ambos son semejantes y:
[math]

Los triangulos [math] y [math], tienen por definicion [math] y ademas son rectangulos, por lo que ambos son semejantes y:
[math]
Igualando las ultimas proporciones obtenemos [math] que era lo que queriamos probar.

Para probar el teorema de la bisectriz exterior:

Sea [math] tal que [math], sea [math] el punto de interseccion de la recta [math] con la bisectriz exterior de [math].

Podemos suponer sin perder generalidad que [math] esta entre [math] y [math]. Sea [math]. Veamos que [math].

Por el teorema del seno en [math], obtenemos:
[math]
Por el teorema del seno en [math], obtenemos:
[math]
Igualando las ultimas proporciones obtenemos [math] que era lo que queriamos probar.
[math], Posta!
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Sea [math] un real, veamos que: [math], entonces [math].
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Teorema de la bisectriz

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Dejo otra demo del teorema... Creo que es mucho más visual para entender lo que pasa...
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teobisectriz.png
Marcamos [math] en la prolongación de [math] para que [math]. Luego, por angulitos como muestra la figura, los siguientes triángulos son semejantes:
(1) [math]
(2) [math]
(3) [math]

De plantear la semejanza entre (2) y (3) tenemos: [math]. (I)
De plantear la semejanza entre (1) y (3) tenemos: [math]. (II)

Reordenando (II) y comparando con (I) tenemos lo que queremos.
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[math]
ricarlos
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Re: Teorema de la bisectriz

Mensaje sin leer por ricarlos »

Otra demo con semejanza
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Sea [math] la interseccion de una paralela a [math] por [math] y la bisectriz [math]. De esta construccion sale que [math] es isosceles , [math] y los triangulos [math] y [math] son semejantes. Entonces [math]
bisectriz.png
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
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Gianni De Rico

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Re: Teorema de la bisectriz

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Demo con áreas
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Las alturas desde $D$ en los triángulos $ABD$ y $ADC$ miden lo mismo (porque $D$ está en la bisectriz de $B\widehat AC$), así que la razón entre las áreas de $ABD$ y $ADC$ es la razón entre sus bases correspondientes a $D$, es decir que es $\dfrac{BA}{AC}$. Por otro lado, como la altura desde $A$ en ambos triángulos es la misma, la razón entre sus áreas es la razón entre sus bases correspondientes a $A$, es decir que es $\dfrac{BD}{DC}$. Entonces $\dfrac{BA}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$.
Esto también muestra que vale la vuelta, porque siempre vale que $\dfrac{BD}{DC}$ es la razón entre las áreas de $ABD$ y $ADC$, así que si $\dfrac{BA}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$ entonces dicha razón entre áreas es $\dfrac{BA}{AC}$, con lo que las alturas desde $D$ miden lo mismo, y así $D$ está en la bisectriz.

La misma idea sirve para el Teorema de la Bisectriz Exterior.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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