Lema de Shmerkin (Teorema de Van Aubel)

[Ivan]

Este es un lema es bastante útil. En Argentina se lo conoce como lema de Shmerkin.

Sean [math]ABC un triángulo y [math]D, [math]E, [math]F puntos en los lados [math]BC, [math]CA, [math]AB respectivamente tales que [math]AD, [math]BE y [math]CF concurren en un punto [math]P.

Entonces [math]\frac{AP}{PD}=\frac{AE}{EC}+\frac{AF}{FB}.

shmerkin.png

Si se usa en una prueba hay que enunciarlo y en lo posible (si uno conoce la demostración y tiene tiempo) demostrarlo.

[Ivan]

Demostración:

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Una demostración posible es usando el teorema de Menelao.
Aplicándolo en [math]ABD con la transversal [math]FPC tenemos

[math]\frac{AP}{PD}\frac{DC}{CB}\frac{BF}{FA}=1

Aplicándolo en [math]ACD con la transversal [math]EPB tenemos

[math]\frac{AP}{PD}\frac{DB}{BC}\frac{CE}{EA}=1

Reescribimos las ecuaciones como [math]\frac{AP}{PD}\frac{CD}{BC}=\frac{AF}{FB} y [math]\frac{AP}{PD}\frac{BD}{BC}=\frac{AE}{EC} y las sumamos. Tenemos

[math]\frac{AP}{PD}\frac{CD}{BC}+\frac{AP}{PD}\frac{BD}{BC} =\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}

Pero sacando factor común [math]\frac{AP}{PD} y notando que [math]\frac{DC+DB}{BC}=1 lo que nos queda es justamente

[math]\frac{AP}{PD} =\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}

Comentarios: Hay una demostración usando razones de áreas, quizás después la posteo.

[usuario250]

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Fijarse que ap/pd = (área(apc)+área(apb))/área(bpc)
ae/ec=área(apb)/área(bpc)
af/fb=área(apc)/área(bpc)

[Fran5]

(Segundo) Lema de Shmerkin

Sean $ABC$ un triángulo y $D$, $E$, $F$ puntos en los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente tales que $AD$, $BE$ y $CF$ concurren en un punto $P$.

Entonces $\frac{AP}{AD}=\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC}$.

Demostración (Ivan)

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Una demostración posible es usando el teorema de Menelao.
Aplicándolo en $PBD$ con la transversal $AEC$ tenemos $$\frac{PA}{AD}\frac{DC}{CB}\frac{BE}{EP}=1$$ Aplicándolo en $PCD$ con la transversal $AFP$ tenemos $$\frac{PA}{AD}\frac{DB}{BC}\frac{CF}{FP}=1$$ Reescribimos las ecuaciones como $\frac{AP}{AD}\frac{DC}{BC}=\frac{EP}{EB}$ y $\frac{AP}{AD}\frac{DB}{BC}=\frac{FP}{FC}$ y las sumamos. Tenemos $$\frac{AP}{AD}\frac{CD}{BC}+\frac{AP}{AD}\frac{DB}{BC} =\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC}$$ Pero sacando factor común $\frac{AP}{AD}$ y notando que $\frac{DC+DB}{BC}=1$ lo que nos queda es justamente $$\frac{AP}{AD} =\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC}$$


OBS: En realidad, lo que hicimos fue cambiar el rol de los puntos $A$ y $P$.

[Fran5]

(Tercer) Lema de Shmerkin

Sean $ABC$ un triángulo y $D$, $E$, $F$ puntos en los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente tales que $AD$, $BE$ y $CF$ concurren en un punto $P$.

Entonces $\frac{DP}{DA}+\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC}=1$.

Demostración

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Trazando las alturas $H_D$ desde $P$ y $H_A$ desde $A$ hacia $BC$, vemos que$$\frac{DP}{DA}=\frac{PH_D}{AH_A}=\frac{2PH_D\cdot BC}{2AH_A\cdot BC}=\frac{[BPC]}{[ABC]}.$$Sumando, vemos que$$\frac{DP}{DA}+\frac{EP}{EB}+\frac{FP}{FC}=\frac{[ABC]}{[ABC]}=1.$$