Fórmula de Stewart

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Ivan

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Fórmula de Stewart

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 26 Nov, 2012 7:29 pm

Sean [math] un triángulo y [math] en [math]. Si [math], [math], [math], [math], [math] y [math] entonces se tiene
[math]

Imagen
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Ivan

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Re: Fórmula de Stewart

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 26 Nov, 2012 7:30 pm

Como casos particulares tenemos la fórmula para la mediana y junto con el teorema de la bisectriz la fórmula para la bisectriz.
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Ivan

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Re: Fórmula de Stewart

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 26 Nov, 2012 8:36 pm

Demostración:
Por el teorema del coseno en [math],
[math]

Por el teorema del coseno en [math],
[math]

Multiplicando la primer igualdad por [math] y la segunda por [math] y usando que [math] (porque [math]) tenemos
[math]


Entonces [math] y finalmente
[math]
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Gianni De Rico

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Re: Fórmula de Stewart

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 20 May, 2019 8:51 pm

Demostración:
Sea $\Gamma$ el circuncírculo de $\triangle ABC$, y sea $P$ la segunda intersección de $AD$ con $\Gamma$. Por arco capaz en $\Gamma$ tenemos $\angle ACD=\angle ACB=\angle BPA=\angle BPD$, y por opuestos por el vértice $\angle ADC=\angle BDP$, luego $\triangle ADC\simeq \triangle BDP\Rightarrow \frac{PB}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{PD}{CD}$ (*). Análogamente, $\triangle ABD\simeq \triangle CPD\Rightarrow \frac{PC}{BA}=\frac{CD}{AD}$ (**).
Como $ABPC$ es cíclico, por el Teorema de Ptolomeo tenemos $AC\cdot PB+AB\cdot PC=BC\cdot AP$. Reemplazando, por (*), $PB=\frac{AC\cdot BD}{AD}$; por (**), $PC=\frac{AB\cdot CD}{AD}$; y por (*), $AP=AD+PD=AD+\frac{BD\cdot CD}{AD}$, resulta $AC\cdot \frac{AC\cdot BD}{AD}+AB\cdot \frac{AB\cdot CD}{AD}=BC\cdot (AD+\frac{BD\cdot CD}{AD})\Rightarrow AC^2\cdot BD+AB^2\cdot CD=BC\cdot AD^2+BC\cdot BD\cdot CD$, luego $BC\cdot AD^2=AC^2\cdot BD+AB^2\cdot CD-BC\cdot BD\cdot CD$.
Por último, reemplazando $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $BD=m$, $CD=n$ y $AD=d$ obtenemos $$ad^2=b^2m+c^2n-amn$$

En particular, cuando $D$ es el punto medio de $BC$ obtenemos $BD=CD=\frac{a}{2}$ y $AD=m$ (cambiando el significado de $m$), conocida como la Fórmula de la Mediana (o Fórmula de Apolonio) $$2b^2+2c^2=a^2+4m^2$$
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Gianni De Rico

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Re: Fórmula de Stewart

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 17 Jul, 2020 10:09 am

Siguiendo la idea de esta demostración, veamos que Stewart sale con Pitágoras:

Demostración:
Stewart.png
Sea $H$ el pie de la altura desde $A$ en $ABC$ , y supongamos sin pérdida de generalidad que está entre $C$ y $D$, obtenemos entonces por Pitágoras que$$\begin{align*}AC^2 & =AH^2+(CD-DH)^2 & (1) \\
AB^2 & =AH^2+(BD+DH)^2 & (2)
\\AD^2 & =AH^2+DH^2 & (3)
\end{align*}$$haciendo $(1)-(3)$ y $(2)-(3)$ resulta$$\begin{align*}AC^2-AD^2 & =CD^2-2\cdot CD\cdot DH \\
AB^2-AD^2 & =BD^2+2\cdot BD\cdot DH
\end{align*}$$multiplicando la primer ecuación por $BD$ y la segunda por $CD$ nos queda$$\begin{align*}BD\cdot AC^2-BD\cdot AD^2 & =BD\cdot CD^2-2\cdot BD\cdot CD\cdot DH \\
CD\cdot AB^2-CD\cdot AD^2 & =CD\cdot BD^2+2\cdot CD\cdot BD\cdot DH
\end{align*}$$sumando ambas ecuaciones tenemos$$BD\cdot AC^2+CD\cdot AB^2-BD\cdot AD^2-CD\cdot AD^2=BD\cdot CD^2+CD\cdot BD^2$$que es equivalente a$$BC\cdot AD^2=AC^2\cdot BD+AB^2\cdot CD-BC\cdot BD\cdot CD$$y reemplazando $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $BD=m$, $CD=n$ y $AD=d$, esto es$$ad^2=b^2m+c^2n-amn$$

Nota: Si $H$ cae afuera de $BC$, entonces o bien la primer ecuación se convierte en $AC^2=AH^2+(CD+DH)^2$ y la segunda se convierte en $AB^2=AH^2+(DH-BD)^2$, o bien la primer ecuación se convierte en $AC^2=AH^2+(DH-CD)^2$. En el primer caso, luego de hacer $(1)-(2)$ y $(1)-(3)$ obtenemos las mismas ecuaciones pero con los signos del $2$ cambiados; en el segundo caso, las cuentas son exactamente las mismas.
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