Teorema de Pitágoras

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Ivan

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Teorema de Pitágoras

Mensaje sin leer por Ivan » Dom 12 Ago, 2012 5:26 pm

Sea [math] un triángulo rectángulo con [math]. Entonces [math].
Imagen
Pitagoras1.png
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Ivan

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Re: Teorema de Pitágoras

Mensaje sin leer por Ivan » Dom 12 Ago, 2012 11:01 pm

Demostración: Consideremos un cuadrado de lado [math] dividido en [math] triángulos congruentes a [math] y un cuadrado de lado [math], como se ve en la figura:
Pitagoras2.png
Calculemos el área del cuadrado interior de dos maneras distintas:
  • Por un lado el área es [math].
  • Por otro lado el área se puede calcular restandole al área del cuadrado exterior [math] veces el área de [math].
    Esto es [math].
Igualando tenemos [math], que es lo que queríamos demostrar.
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JCondemi
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Re: Teorema de Pitágoras

Mensaje sin leer por JCondemi » Mar 24 Sep, 2013 8:30 pm

Acá comparto otra demostración:

Se tiene un triángulo rectángulo T, de lados a, b y c.

Imagen

Supongamos que al triángulo T se le puede "cortar" el lado c, y que uno puede estirar los lados a y b.
Con este nuevo "lado" de longitud (a+b), fabricamos dos cuadrados iguales. Cada lado del cuadrado mide (a+b).
Marcamos en cada cuadrado los lados a y b, de manera tal de poder dibujar estas figuras:
Imagen
Ahora, observemos en cada cuadrado cuántas veces aparece el triángulo T. Como los cuadrados son iguales, una vez que hemos descubierto los cuatro triángulos en cada uno de ellos, la superficie que queda libre en cada uno tiene que ser la misma.
En la figura 1, quedan dos "cuadraditos" de superficies [math] y [math] respectivamente. Por otro lado, en la figura 2, queda dibujado un "nuevo" cuadrado de área [math].
Conclusión: tiene que ser
[math] + [math] = [math]
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Gianni De Rico

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Re: Teorema de Pitágoras

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 14 Jul, 2018 12:26 pm

Otra demo:
Sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$
Tenemos $B\widehat DA=B\widehat AC=90°$ y $D\widehat BA=A\widehat BC$, luego$$DBA\simeq ABC\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow AB^2=BC\cdot BD$$Tenemos $C\widehat DA=C\widehat AB=90°$ y $D\widehat CA=B\widehat CA$, luego$$DAC\simeq ABC\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{AC}{CD}\Rightarrow AC^2=BC\cdot CD$$Juntando los dos resultados nos queda$$\begin{align*}AB^2+AC^2 & =BC\cdot BD+BC\cdot CD \\
& =BC\cdot (BD+CD) \\
& =BC^2
\end{align*}$$
Pitágoras.png
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Gianni De Rico

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Re: Teorema de Pitágoras

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 22 Jun, 2020 6:32 pm

Edit:
Esta demo es muy teórica, pero dentro de todo me pareció linda.
Fin edit (?)

Una más:

Consideremos la circunferencia $\Omega$ de centro $B$ y radio $BA$, luego, $AC$ es tangente a $\Omega$, entonces por Potencia de un Punto tenemos que$$AC^2=\text{Pot}(C,\Omega )=BC^2-AB^2$$de donde$$AB^2+AC^2=BC^2$$y con eso estamos.
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Re: Teorema de Pitágoras

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 22 Jun, 2020 7:37 pm

Gianni De Rico escribió:
Lun 22 Jun, 2020 6:32 pm
Una más:

Consideremos la circunferencia $\Omega$ de centro $B$ y radio $BA$, luego, $AC$ es tangente a $\Omega$, entonces por Potencia de un Punto tenemos que$$AC^2=\text{Pot}(C,\Omega )=BC^2-AB^2$$de donde$$AB^2+AC^2=BC^2$$y con eso estamos.
Está bien siempre y cuando no uses Pitágoras para demostrar potencia de un punto!
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Re: Teorema de Pitágoras

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Lun 22 Jun, 2020 7:52 pm

Ivan escribió:
Lun 22 Jun, 2020 7:37 pm
Gianni De Rico escribió:
Lun 22 Jun, 2020 6:32 pm
Una más:

Consideremos la circunferencia $\Omega$ de centro $B$ y radio $BA$, luego, $AC$ es tangente a $\Omega$, entonces por Potencia de un Punto tenemos que$$AC^2=\text{Pot}(C,\Omega )=BC^2-AB^2$$de donde$$AB^2+AC^2=BC^2$$y con eso estamos.
Está bien siempre y cuando no uses Pitágoras para demostrar potencia de un punto!
Potencia de un punto sale con semejanza.
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Turko Arias

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Re: Teorema de Pitágoras

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 22 Jun, 2020 8:25 pm

Otra más, aún peor que la de Gianni, para no dejarlo solo publicando cosas horribles

Consideremos los complejos $z_1=a, z_2=bi, z_3=z_2-z_1$, con $a, b \in \mathbb{R}_{> 0}$. Es claro que los tres vectores forman un triángulo rectángulo, tenemos entonces que $|z_3|^2=|z_2-z_1|^2=(z_2-z_1)\overline{(z_2-z_1)}=(z_2-z_1)(\overline{z_2}-\overline{z_1})=(bi-a)(\overline{bi}-\overline{a})$, pero como $a \in \mathbb{R}, \overline{a}=a$ y nos queda $(bi-a)(-bi-a)=b^2+a^2$, así que $|z_3|^2=b^2+a^2$ como queríamos demostrar


Es claro que cualquiera en edad de aprender el Teorema de Pitágoras posee una base previa de complejos
Spoiler: mostrar
Estoy siendo sarcástico :roll:
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