Teorema de Menelao

[Ivan]

El teorema de menelao da una condición que se cumple cuando tres puntos en los lados de un triángulo están alineados. Reciprocamente, (teniendo cuidado con donde están los puntos) permite probar que tres puntos están alineados.

Teorema de Menelao: Sean [math]ABC un triángulo y [math]D, [math]E, [math]F puntos en [math]BC, [math]CA y [math]AB respectivamente, tales que [math]D, [math]E y [math]F están alineados.
El teorema de Menelao dice que [math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1.

menelao1.png

(Recíproco del) Teorema de Menelao:
Sean [math]ABC un triángulo y [math]D, [math]E, [math]F puntos en [math]BC, [math]CA y [math]AB respectivamente, de modo que dos de los puntos [math]D, [math]E, [math]F estén en los lados y el restante en una prolongación o que los tres puntos estén en las prolongaciones. Supongamos que se cumple [math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1.
El (recíproco del) teorema de Menelao dice que entonces [math]D, [math]E y [math]F están alineados.



Esta versión es más corta de enunciar, pero hay que entender que significan los signos:

Teorema de Menelao: Sean [math]ABC un triángulo y [math]D, [math]E, [math]F puntos en [math]BC, [math]CA y [math]AB.
Entonces [math]D, [math]E y [math]F están alineados si y solamente si [math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=-1.


Demostración:

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[math](\Rightarrow) Supongamos que [math]D, [math]E y [math]F están alineados. Vamos a demostrar que [math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=-1.

Sean [math]h_A, [math]h_B, [math]h_C las distancias de [math]A, [math]B, [math]C respectivamente a la recta [math]DEF:

menelao2.png

Entonces por semejanza tenemos

[math]\frac{BD}{CD}=\frac{h_B}{h_C}\qquad \frac{CE}{AE}=\frac{h_C}{h_A} \qquad \frac{AF}{BF}=\frac{h_A}{h_B}

y multiplicando las tres igualdades tenemos [math]\frac{BD}{CD} \frac{CE}{AE} \frac{AF}{BF}=1. Por los signitos esto es equivalente a

[math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=-1

[math](\Leftarrow) Supongamos que [math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=-1. Vamos a demostrar que [math]D, [math]E y [math]F están alineados.

Sea [math]F'=DE\cap AB. Vamos a probar que [math]F=F'. Notemos que [math]F está en el segmento [math]AB si y solamente si [math]F' está en el segmento [math]AB.
Por la parte que ya probamos del teorema de Menelao [math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF'}{F'B}=-1 entonces [math]\frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB} pero esto implica [math]F=F' que es lo que queríamos probar [math]\blacksquare

[drynshock]

No me gusta el teorema, y lo demuestro solo para obligarme a que me guste...

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geogebra-export (64).png

Trazamos por $B$ la paralela a $AC$ y marcamos el punto de intersección con $FD$ (digamos $G$).

Luego, $\triangle FEC \sim \triangle FGB \Rightarrow \frac{BF}{CF} = \frac{BG}{EC} \Rightarrow \boxed{BG = \frac{EC.BF}{CF}}$

También se cumple que $\triangle BDG \sim \triangle ADE \Rightarrow \frac{BD}{DA} = \frac{BG}{AE} \Rightarrow \boxed{BG = \frac{BD.AE}{DA}}$.

Igualando ambas se obtiene $\frac{EC.BF}{CF} = \frac{BD.AE}{DA} \iff \frac{EC.BF.DA}{CF.BD.AE} = 1$ o equivalentemente

$$\frac{AD}{BD}.\frac{BF}{CF}.\frac{EC}{AE} = 1$$

$\blacksquare$

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Quedaría demostrar la vuelta igual... en otro momento lo hago