OMAlbum - Problema #A019
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Este problema en el Archivo de Enunciados:
• Archivo de Enunciados • Listas de problemas • OMAlbum • Serie AOMAlbum - Problema #A019
Usando los dígitos del $1$ al $9$, una vez cada uno, Iván quiere formar un número de nueve dígitos que cumpla la siguiente condición: si dos dígitos están en posiciones consecutivas, el número que forman tiene que ser múltiplo de $7$ o de $13$ (puede ser múltiplo de ambos a la vez). ¿Qué número puede formar Iván?
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Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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- Mensajes: 16
- Registrado: Mié 05 Ago, 2020 9:28 am
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Re: OMAlbum - Problema #A019
Primero hice una lista de los múltiplos de dos dígitos de $7$ o $13$.
$\;\;7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98$
$13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$
Descartamos $70$ porque el $0$ no es un dígito válido y $77$ porque no podemos repetir ningún dígito. Entonces el único número que utiliza el $7$ es $78$. Esto nos da la pauta de que no puede haber dígitos antes del $7$. El número de Iván debe comenzar con $78$.
La única posibilidad que comienza con $8$ es $84$, de modo que el número de Iván comienza con $784$.
Luego del $4$ hay dos posibilidades: $2$ o $9$. Los posibles comienzos del número de Iván son $7842$ y $7849$.
Expandiendo $7842$, puede seguir $1$ o $6$ porque el $8$ ya fue usado. Los posibles comienzos del número de Iván son $78421$, $78426$ y $7849$.
Con $78421$, debe seguir $3$ porque el $4$ ya fue usado. Luego del $3$ puede seguir $5$ o $9$. Los posibles comienzos del número de Iván son $7842135$, $7842139$, $78426$ y $7849$.
Con $7842135$, debe seguir $6$ porque el $2$ ya fue usado. Ya no podemos seguir porque tanto el $3$ como el $5$ ya están usados. Los posibles inicios son $7842139$, $78426$ y $7849$.
Con $7842139$ no podemos seguir porque tanto el $1$ como el $8$ ya están usados. Los posibles inicios son $78426$ y $7849$.
Con $78426$, puede seguir $3$ o $5$. Los posibles inicios son $784263$, $784265$ y $7849$.
Con $784263$, puede seguir $5$ o $9$. Los posibles inicios son $7842635$, $7842639$, $784265$ y $7849$.
Con $7842635$ no podemos seguir porque tanto el $2$ como el $6$ ya están usados. Los posibles inicios son $7842639$, $784265$ y $7849$.
Con $7842639$ debe seguir $1$ porque $8$ ya fue usado. Ya no podemos seguir porque tanto el $3$ como el $4$ fueron usados. Los posibles inicios son $784265$ y $7849$.
Con $784265$ no podemos seguir porque tanto el $2$ como el $6$ ya están usados. El inicio debe ser $7849$.
Después del $9$ viene el $1$ porque el $8$ ya fue usado. El inicio debe ser $78491$.
Después del $1$ viene el $3$ porque el $4$ ya fue usado. El inicio debe ser $784913$.
Después del $3$ viene el $5$ porque el $9$ ya fue usado. El inicio debe ser $7849135$.
Con $7849135$, puede seguir $2$ o $6$. Los posibles inicios son $78491352$ y $78491356$.
Con $78491356$ no podemos seguir porque $3$ y $5$ ya fueron usados. El inicio debe ser $78491352$.
Terminamos con el $6$ y el número es $784913526$.
Mi explicación es menos elegante que un sánguche de mortadela, pero la comparto porque lo que vale es el algoritmo de búsqueda.
$\;\;7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98$
$13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$
Descartamos $70$ porque el $0$ no es un dígito válido y $77$ porque no podemos repetir ningún dígito. Entonces el único número que utiliza el $7$ es $78$. Esto nos da la pauta de que no puede haber dígitos antes del $7$. El número de Iván debe comenzar con $78$.
La única posibilidad que comienza con $8$ es $84$, de modo que el número de Iván comienza con $784$.
Luego del $4$ hay dos posibilidades: $2$ o $9$. Los posibles comienzos del número de Iván son $7842$ y $7849$.
Expandiendo $7842$, puede seguir $1$ o $6$ porque el $8$ ya fue usado. Los posibles comienzos del número de Iván son $78421$, $78426$ y $7849$.
Con $78421$, debe seguir $3$ porque el $4$ ya fue usado. Luego del $3$ puede seguir $5$ o $9$. Los posibles comienzos del número de Iván son $7842135$, $7842139$, $78426$ y $7849$.
Con $7842135$, debe seguir $6$ porque el $2$ ya fue usado. Ya no podemos seguir porque tanto el $3$ como el $5$ ya están usados. Los posibles inicios son $7842139$, $78426$ y $7849$.
Con $7842139$ no podemos seguir porque tanto el $1$ como el $8$ ya están usados. Los posibles inicios son $78426$ y $7849$.
Con $78426$, puede seguir $3$ o $5$. Los posibles inicios son $784263$, $784265$ y $7849$.
Con $784263$, puede seguir $5$ o $9$. Los posibles inicios son $7842635$, $7842639$, $784265$ y $7849$.
Con $7842635$ no podemos seguir porque tanto el $2$ como el $6$ ya están usados. Los posibles inicios son $7842639$, $784265$ y $7849$.
Con $7842639$ debe seguir $1$ porque $8$ ya fue usado. Ya no podemos seguir porque tanto el $3$ como el $4$ fueron usados. Los posibles inicios son $784265$ y $7849$.
Con $784265$ no podemos seguir porque tanto el $2$ como el $6$ ya están usados. El inicio debe ser $7849$.
Después del $9$ viene el $1$ porque el $8$ ya fue usado. El inicio debe ser $78491$.
Después del $1$ viene el $3$ porque el $4$ ya fue usado. El inicio debe ser $784913$.
Después del $3$ viene el $5$ porque el $9$ ya fue usado. El inicio debe ser $7849135$.
Con $7849135$, puede seguir $2$ o $6$. Los posibles inicios son $78491352$ y $78491356$.
Con $78491356$ no podemos seguir porque $3$ y $5$ ya fueron usados. El inicio debe ser $78491352$.
Terminamos con el $6$ y el número es $784913526$.
Mi explicación es menos elegante que un sánguche de mortadela, pero la comparto porque lo que vale es el algoritmo de búsqueda.