OMAlbum - Problema #A018

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Matías V5

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OMAlbum - Problema #A018

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $B \widehat{A} C = 120^{\circ}$. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre el lado $BC$, con $P$ entre $B$ y $Q$, tales que $APQ$ es un triángulo equilátero. Sabiendo que el área del triángulo $PAC$ es $158$, calcular el área del triángulo $ABC$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Tomás Morcos Porras

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Re: OMAlbum - Problema #A018

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

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OMAlbum #A018.png
Como $\triangle{ABC}$ es isósceles, $\widehat{ABP}=30°$. Luego, como $\triangle{APQ}$ es equilátero, sus ángulos miden $60°$. $\widehat{APB}$ es suplementario con $\widehat{APQ}$, entonces mide $120°$. $\widehat{BAP}=180°-\widehat{ABP}-\widehat{APQ}=30°$ así que $\overline{BP}=\overline{AP}=\overline{PQ}$ y por un argumento similar sale lo mismo para $\overline{QC}$.
Tenemos que los tres triángulos $\triangle{ABP}, \triangle{APQ}, \triangle{AQC}$ tienen misma base y además tienen misma altura (la perpendicular a $\overline{BC}$ hasta $A$), por lo que su área es la misma.
Por último, como el área de $\triangle{APC}$ es $158$, el área de $\triangle{ABC}$ será $\frac{158\times 3}{2}=237$.
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