P4 - Competencia Paenza 2010

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Ivan

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Mensaje sin leer por Ivan »

En el espacio de $4$ dimensiones, se dispone de ladrillos de $1 \times 2\times 3 \times 4$. Decidir si con estos
ladrillos se pueden armar paralelepípedos de las siguientes dimensiones:
i) $2 \times 5 \times 7 \times 12$
ii) $5 \times 5 \times 10 \times 12$
iii) $6 \times 6 \times 6 \times 6$
Todo el parelelepípedo debe quedar lleno; no puede haber huecos o agujeros.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Ivan

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Re: P4 - Competencia Paenza 2010

Mensaje sin leer por Ivan »

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Primero notemos que rotando un ladrillo de $1\times 2\times 3 \times 4$ podemos obtener uno de $2\times 1\times 4 \times 3$.

Lema: Se puede armar un bloque de $2\times 5\times 4\times 12$.

Demostración: Con $4$ ladrillos de $2\times 1\times 4\times 3$ es posible armar un bloque de $ 2\times 1\times 4\times 12$.

Con $5$ bloques de $2\times 1 \times 4 \times 12$ obtenemos uno de $2\times 5\times 4\times 12$ $\blacksquare$

Con un argumento muy parecido se ve que:
Lema: Es posible conseguir un bloque de $2\times 5\times 3\times 12$.

Parte (i) Es posible armar un ladrillo de $2\times 5\times 7 \times 12$ pegando un bloque de $2\times 5\times 3\times 12$ con un bloque de $2\times 5 \times 4\times 12$.

Lema: Se puede armar un bloque de $3\times 5\times 10\times 12$.

Demostración: Con $3$ ladrillos de $3\times 1\times 2\times 4$ se puede armar un bloque de $3\times 1\times 2\times 12$. Con $5$ bloques de $3\times 1\times 2\times 12$ se puede armar un bloque de $3\times 1\times 10\times 12$. Con $5$ bloques de $3\times 1\times 10\times 12$ se puede armar el bloque de $3\times 5\times 10\times 12$ $\blacksquare$

Parte (ii) También es posible. Sabemos que es posible armar bloques de $2\times 5\times 3\times 12$ y $2\times 5\times 7\times 12$. Entonces podemos armar un bloque de $2\times 5\times 10\times 12$. Con el bloque de $2\times 5\times 10\times 12$ y el de $3\times 5\times 10\times 12$ se puede armar uno de $5\times 5\times 10\times 12$.


Parte (iii) Supongamos que es posible para llegar a una contradicción. Consideremos un paralelepípedo de $6\times 6\times 6\times 6$ dividido en ladrillos. Cada casilla tiene una coordenada $(w,x,y,z)\in \{1,2,3,4,5,6\}^4$. Escribimos un número complejo en cada casilla, en la casilla $(w,x,y,z)$ escribimos el número $i^{w+x+y+z}$. La suma de todos los números del tablero es
$$\sum_{w=1}^6 \sum_{x=1}^6 \sum_{y=1}^6 \sum_{z=1}^6 i^{w+x+y+z} = \left(\sum_{w=1}^6 i^w \right)\left(\sum_{x=1}^6 i^x \right)\left(\sum_{y=1}^6 i^y \right)\left(\sum_{z=1}^6 i^z \right)=(i-1)^4\neq 0.$$
Pero haciendo una cuenta similar se ve que la suma de los números de cada ladrillo es $0$, contradicción. Luego no es posible.

Comentario: La misma idea de la parte (iii) para rectángulos aparece en viewtopic.php?t=684.
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