Determine todas las ternas $(a,b,c)$ de primos positivos tales que el polinomio cuadrático $aX^2+bX+C$ sea reducible en $\mathbb{Q}[X]$, donde $\mathbb{Q}$ denota el cuerpo de números racionales.
Primero supongamos que $a=b=c$. Luego $ax^2+bx+c=a(x^2+x+1)=a(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$, que no es reducible en $\mathbb{Q}[x]$
Ahora utilizaremos el siguiente lema de Gauss:
Sea $p \in \mathbb{Z}[x]$. Supongamos que $p = st$ con $s,t \in \mathbb{Q}[x]$. Luego existe $c \in \mathbb{Q}$ tal que $cs, c^{-1}t \in \mathbb{Z}[x]$.
La demo no es muy trivial, pero una idea es la siguiente:
- Considerar $n \in \mathbb{Z}$ tal que tanto $\tilde{s} = ns$ y $\tilde{t} = nt \in \mathbb{Z}[x]$
- Para cada primo $q | n$, como $q$ divide a todos los coeficientes de $np = nst$, ver que $q$ debe dividir a todos los coeficientes de $ns$ ó $nt$.
- Dividir el correspondiente polinomio $\tilde{s}$ ó $\tilde{t}$ del lado derecho por $q$ para obtener un nuevo polinomio $\tilde{s}$ ó $\tilde{t}$ con coeficientes enteros.
- Seguir hasta haber dividido a $n$ por todos sus divisores primos, de modo que $p = \tilde{s}\tilde{t}$ con $\tilde{s} = cs$ y $\tilde{t} = c^{-1}t$
Luego podemos pensar que $ax^2+bx+c = (mx+n)(kx+l)$, con $m,n,k,l \in \mathbb{Z}$.
Como $(mx+n)(kx+l) = mkx^2 + (ml+kn)x+nl$, obtenemos que $mk=a$, $nl=c$. Luego hay $2$ posibilidades (pues otras son simétricas)
$m=a,k=1,n=c,l=1$
De este modo $b = m+n = a+c$, con lo cual $a$ y $b$ ó $a$ y $c$ deben ser primos gemelos.
$m=a, k=1,n=1,l=c$
De este modo $b = ml+1 = ac+1 \geq 5$. Luego como es primo debe ser $a=2$ ó $c=2$.
En conclusión, las ternas $(a,b,c)$ deberían ser las de la forma
$(a,b,c) = (p,q,2)$, donde $p,q$ primos gemelos
$(a,b,c) = (2,p,q)$, donde $p,q$ primos gemelos
$(a,b,c) = (2,2p+1,p)$, donde $p$ es primo de Germain
$(a,b,c) = (p,2p+1,2)$, donde $p$ es primo de Germain