Número de Oro 2019 - P5

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Gianni De Rico

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Número de Oro 2019 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:02 pm

Determine si el número $$8^{22}+9^{40}$$ es primo o compuesto.
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Gianni De Rico

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Re: Número de Oro 2019 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 6:23 pm

Solución:
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Afirmo que $8^{22}+9^{40}$ es compuesto, más aún, cualquier número de la forma $$(5a+3)^{4b+2}+c^{4d}$$ con $a,b,c,d\in \mathbb{N}$, es divisible por $5$.
En efecto, por Fermatito tenemos $a^4\equiv 1\pmod 5$, luego $$(5a+3)^{4b+2}+c^{4d}\equiv \left (3^4\right )^b\cdot 3^2+\left (c^4\right )^d\equiv 1^b\cdot 3^2+1^d\equiv 9+1\equiv 4+1\equiv 0\pmod 5$$
Tomando $a=1$, $b=5$, $c=9$ y $d=10$, tenemos que $$8^{22}+9^{40}\equiv 0\pmod 5$$
Como $8>5$, $9>5$ y la exponencial es creciente, tenemos $8^{22}+9^{40}>5$, luego, es un múltiplo de $5$ mayor que $5$, por lo que es compuesto. $\blacksquare$
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Turko Arias

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Re: Número de Oro 2019 - P5

Mensaje sin leer por Turko Arias » Sab 07 Sep, 2019 8:37 pm

Un poco menos bazookazo que el mensaje de Gianni
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$9^{40}+8^{22}=(9^{10})^4+2^{66}=(9^{10})^4+4*(2^{16})^4$ y bueno, aplicando la Factorización de Sophie Germain murió :|
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LuchoLP

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Re: Número de Oro 2019 - P5

Mensaje sin leer por LuchoLP » Sab 07 Sep, 2019 9:59 pm

Un poco menos bazookazo que el mensaje del Turko
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$8^{22}=(8^2)^{11}\equiv(3^2)^{11}\equiv(-1)^{11}\equiv(-1)\pmod5$

$9^{40}\equiv(-1)^{40}\equiv1\pmod5$

Entonces $8^{22}+9^{40}$ es un múltiplo de $5$ claramente mayor que $5$, sou es compuesto.
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Monazo

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Re: Número de Oro 2019 - P5

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 17 Oct, 2019 1:25 am

Un video que hace lo mismo que hace el turko

https://m.youtube.com/watch?v=7E3Sq6EHANY

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