Demostración AM-GM (y otras desigualdades)
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Vladislao
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Demostración AM-GM (y otras desigualdades)
Vamos a demostrar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, que enuncia que, siendo [math] números reales positivos, siempre se verifica que:
Sería bueno estar familiarizado también con la desigualdad de Cauchy-Schwarz, cuya demostración está en el link.
Primero vamos a probar otra desigualdad, la desigualdad de reordenamiento (o rearrangement inequality).
Desigualdad de Reordenamiento: Consideremos los [math] números reales positivos [math] y los [math] números reales [math]. Sea [math] una permutación de [math] (es decir, los mismos números cambiados de orden). Entonces se verifica que:
Si [math] son números reales positivos. Entonces:
Ahora, finalmente vamos a usar este corolario para probar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.
[math]
Hay muchas maneras de llevar a cabo la demostración. Una muy conocida es usando un principio inductivo que al comienzo parece extraño. Voy a mostrar otra que, en definitiva, es un poco más interesante porque vamos a ir demostrando resultados parciales sobre desigualdades también muy conocidas. Algunas las vamos a utilizar, otras no.Sería bueno estar familiarizado también con la desigualdad de Cauchy-Schwarz, cuya demostración está en el link.
Primero vamos a probar otra desigualdad, la desigualdad de reordenamiento (o rearrangement inequality).
Desigualdad de Reordenamiento: Consideremos los [math] números reales positivos [math] y los [math] números reales [math]. Sea [math] una permutación de [math] (es decir, los mismos números cambiados de orden). Entonces se verifica que:
[math]
Desigualdad de Chebyshev: Sean [math] números reales positivos, y sean [math] números reales positivos. Entonces:[math]
Ahora, por la desigualdad de reordenamiento, obtenemos el siguiente corolario:Si [math] son números reales positivos. Entonces:
[math]
Demostración:Ahora, finalmente vamos a usar este corolario para probar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
Re: Demostración AM-GM (y otras desigualdades)
Uy recién postee Rearrangement y la demostración. Estaba por postear Chebyshev y recién veo este post
Si tenés ganas hacé un post aparte para Chebyshev
Muy buena la demostración de AM-GM.
Si tenés ganas hacé un post aparte para Chebyshev
Muy buena la demostración de AM-GM.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
- CarlPaul_153
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Re: Demostración AM-GM (y otras desigualdades)
y que pasa si en un examen tengo que usar AM-GM? tengo que poner terrible demostración, y para variar sumarle la de Cauchy-Schwarz??
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
Re: Demostración AM-GM (y otras desigualdades)
NO. Hay cosas que se pueden usar sin demostración. Por ejemplo Ceva, Menelao, Cauchy-Schwarz, AM-GM, teorema chino del resto, teorema de Fermat-Euler. Hay otras cosas que es mejor demostrar, por ejemplo el Lema de Shmerkin o este lema. En los temas de teoría se avisa (o al menos se debería avisar) cuando es importante demostrar algo en un examen.CarlPaul_153 escribió:y que pasa si en un examen tengo que usar AM-GM? tengo que poner terrible demostración, y para variar sumarle la de Cauchy-Schwarz??
En la parte de teoría figuran las demostraciones de los resultados porque es bueno conocerlas (al menos haberlas visto alguna vez). Es una buena fuente de ideas para pensar problemas. Un ejemplo de esto es la demostración del Pequeño Teorema de Fermat, en la cual se usa que si [math] entonces [math] es una permutación de [math] (módulo [math]). Es un hecho muy simple pero extremadamente útil.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)