Desigualdad de medias

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Caro - V3

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Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Lun 20 Dic, 2010 8:39 pm

Sean [math] números reales positivos.

Se definen:
- Media Cuadrática (QM): [math]

- Media Aritmética (AM): [math]

- Media Geométrica (GM): [math]

- Media Armónica (HM): [math]


Y siempre se cumple que:

[math]

con igualdad si y sólo si [math] .



Y para aquellos que les guste generalizar, tenemos:
Media [math]-ésima ([math]):
[math]
siendo [math] un número real, distinto de 0.
(aunque se define que la media "0-ésima" es la geométrica)

[math]
3  
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Caro - V3

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Re: Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 22 Dic, 2010 3:01 pm

A veces está bueno escribir la media armónica de [math] como [math] .
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Vladislao

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Re: Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por Vladislao » Mar 28 Dic, 2010 10:30 pm

Una demostración muy bonita de que la media potencial de grado k de n números crece monótonamente a medida que k crece:

Medias potenciales
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Ivan

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Re: Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 27 Abr, 2012 4:33 pm

Usando Cauchy-Schwarz se puede demostrar que [math] y que vale la igualdad sii [math]:

Apliquemos Cauchy-Schwarz a los números [math] poniendo [math]. Se sigue que:

[math]

que es lo que queríamos. Notemos que por Cauchy-Schwarz para que valga la igualdad los [math] deben ser todos iguales.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Vladislao

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Re: Desigualdad de medias

Mensaje sin leer por Vladislao » Mar 24 Jul, 2012 2:02 am

Vamos a demostrar que dados [math] números reales positivos [math], y dos números reales positivos [math] y [math] con [math], se cumple que:

[math]

Valiendo la igualdad si y sólo si todos los [math] son iguales.
Spoiler: mostrar
Para ver esto, sean [math] números reales positivos.

Consideremos la función [math] con dominio [math].

Es claro que [math] para todo [math], pues [math] por hipótesis.

Luego, se tiene que [math] es una función convexa, por lo tanto, usando la desigualdad de Jensen, vale que:

[math]

O sea que:

[math]

Si llamamos [math], lo último se reescribe como:

[math]

Y se deduce el resultado buscado:

[math]

Nota: El número [math] recibe el nombre de media potencial [math]-ésima de los números positivos [math]. Entre otras cosas, el resultado probado implica que cualquier media potencial [math]-ésima con [math] es siempre mayor ó igual que la media aritmética de los números. Lo cual, si fijamos [math], da otra demostración de la desigualdad entre las medias cuadrática y aritmética (ver la respuesta anterior de Iván).
1  
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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