Maximizar a^m b^n sujeto a a+b=M
Maximizar a^m b^n sujeto a a+b=M
Estaba mirando la guía de matemática del colegio y proponía el siguiente ejercicio:
"A partir de una hoja cuadrada de cartón de 12dm de lado se quiere construir una caja abierta recortando cuadrados iguales y luego plegando. ¿Cuál será el volumen máximo del que se podrá disponer?"
Básicamente, nos piden maximizar [math]. La idea es que derivando la función [math] e igualando a cero podemos encontrar el máximo, es decir [math], lo que nos da [math] y [math] como máximo.
Pero se puede pensar a este problema de forma elemental. Tratemos de usar la desigualdad entre las medias artimética-geométrica de forma directa primero:
Sería genial que en el RHS se nos cancelen las [math]. Pero notemos que maximizar [math] es lo mismo que maximizar [math] porque estamos multiplicando por una constante. Si ahora hacemos AM-GM, nos queda:
con igualdad si y sólo si [math], es decir [math].
Pero veamos que este método se puede extender a maximizar a todas las expresiones de la forma [math] con [math] y [math] con [math] y [math] constante.
Vamos a hacer AM-GM con [math] números iguales a [math] y [math] números iguales a [math]. Son en total [math] números. Obtenemos:
Pero el LHS es equivalente a [math], es decir [math]. Entonces, se sigue que:
con igualdad si y sólo si [math], es decir, [math], y como [math], se sigue que [math] y [math]. [math]
En caso que a alguien le interese la manera no-elemental:
Por último. vamos a extender esto a [math] variables. Sean [math] reales positivos tales que [math] con [math] fijo. Sean [math]. Queremos maximizar la expresión [math].
Denotamos por [math] al producto de los [math], es decir, [math]. Vamos a hacer AM-GM con [math] números [math]. Es decir:
Reacomodando los términos:
Elevando a [math] a ambos lados, obtenemos
Con igualdad si y sólo si [math] de donde se ve fácilmente que en el caso de igualdad [math] para todo [math]. [math]
Creo que si tratás de hacer eso derivando tenés que usar multiplicadores de Lagrange y te volvés chango (?). En fin, está bueno para ver una de las tantas aplicaciones de AM-GM y lo fuerte que es.
"A partir de una hoja cuadrada de cartón de 12dm de lado se quiere construir una caja abierta recortando cuadrados iguales y luego plegando. ¿Cuál será el volumen máximo del que se podrá disponer?"
Básicamente, nos piden maximizar [math]. La idea es que derivando la función [math] e igualando a cero podemos encontrar el máximo, es decir [math], lo que nos da [math] y [math] como máximo.
Pero se puede pensar a este problema de forma elemental. Tratemos de usar la desigualdad entre las medias artimética-geométrica de forma directa primero:
[math]
Sería genial que en el RHS se nos cancelen las [math]. Pero notemos que maximizar [math] es lo mismo que maximizar [math] porque estamos multiplicando por una constante. Si ahora hacemos AM-GM, nos queda:
[math]
con igualdad si y sólo si [math], es decir [math].
Pero veamos que este método se puede extender a maximizar a todas las expresiones de la forma [math] con [math] y [math] con [math] y [math] constante.
Vamos a hacer AM-GM con [math] números iguales a [math] y [math] números iguales a [math]. Son en total [math] números. Obtenemos:
[math]
Pero el LHS es equivalente a [math], es decir [math]. Entonces, se sigue que:
[math]
con igualdad si y sólo si [math], es decir, [math], y como [math], se sigue que [math] y [math]. [math]
En caso que a alguien le interese la manera no-elemental:
Por último. vamos a extender esto a [math] variables. Sean [math] reales positivos tales que [math] con [math] fijo. Sean [math]. Queremos maximizar la expresión [math].
Denotamos por [math] al producto de los [math], es decir, [math]. Vamos a hacer AM-GM con [math] números [math]. Es decir:
[math]
Reacomodando los términos:
[math]
Elevando a [math] a ambos lados, obtenemos
[math]
Con igualdad si y sólo si [math] de donde se ve fácilmente que en el caso de igualdad [math] para todo [math]. [math]
Creo que si tratás de hacer eso derivando tenés que usar multiplicadores de Lagrange y te volvés chango (?). En fin, está bueno para ver una de las tantas aplicaciones de AM-GM y lo fuerte que es.
"Though my eyes could see I still was a blind man"