Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Alejo

OFO - Medalla de Plata OFO - Jurado
Mensajes: 76
Registrado: Dom 01 Abr, 2012 4:14 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por Alejo » Mar 05 Mar, 2013 8:55 pm

[math]
Luego
[math]
[math].

Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador
Mensajes: 980
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por Ivan » Mié 06 Mar, 2013 8:35 pm

Vladislao escribió:Bueno... Si lo que puso Alejo está bien, la demostración que puse arriba es consecuencia de eso (aunque en realidad faltaría probar que el coseno es mayor que -1).
Fijate que el post de Alejo es por si solo una demostración de Cauchy-Schwarz.
La filosofía de esa demostración es que la desigualdad involucra solamente dos vectores, así que en realidad todo ocurre en un plano y como todos los planos son "iguales" (al formalizar esta idea aparece esa base ortonormal), basta probar el caso [math].
La demostración es muy interesante, pero depende de cosas de algebra lineal (fundamentalmente la existencia de esa base ortonormal).
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Avatar de Usuario
Vladislao

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 785
Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Córdoba

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por Vladislao » Mié 06 Mar, 2013 10:57 pm

Ivan escribió:
Vladislao escribió:Bueno... Si lo que puso Alejo está bien, la demostración que puse arriba es consecuencia de eso (aunque en realidad faltaría probar que el coseno es mayor que -1).
Fijate que el post de Alejo es por si solo una demostración de Cauchy-Schwarz.
La filosofía de esa demostración es que la desigualdad involucra solamente dos vectores, así que en realidad todo ocurre en un plano y como todos los planos son "iguales" (al formalizar esta idea aparece esa base ortonormal), basta probar el caso [math].
La demostración es muy interesante, pero depende de cosas de algebra lineal (fundamentalmente la existencia de esa base ortonormal).
Pero, lo que él escribió no es una demostración completa de CS. Él acotó el coseno entre [math] y [math] asumiendo que todos los planos son iguales (es cierto que en el medio usa la desigualdad para el caso [math], pero eso sí se puede probar muy fácil).
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador
Mensajes: 980
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por Ivan » Mié 06 Mar, 2013 11:28 pm

Vladislao escribió:Pero, lo que él escribió no es una demostración completa de CS. Él acotó el coseno entre [math] y [math] asumiendo que todos los planos son iguales (es cierto que en el medio usa la desigualdad para el caso [math], pero eso sí se puede probar muy fácil).
Cuando dice
Alejo escribió: La ecuación a probar es equivalente a
[math]
está haciendo esto implícitamente:
[math]

Asumo que definió [math] pero de cualquier modo ya probó Cauchy (o sea [math]).
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

gstefanich
Mensajes: 1
Registrado: Mar 03 Dic, 2013 9:16 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por gstefanich » Sab 21 Dic, 2013 7:01 pm

Voy a hacer una pseudodefensa de lo que dice Luis. Y voy a llamar [math] al producto escalar del que venían hablando.

Está bien que decir que Cauchy vale porque el "coseno del angulo entre los vectores" (definido con esa cuenta) es [math] no nos sirve mucho si no sabemos una demostración de eso, porque al fin y al cabo son el mismo enunciado pero camuflados. Pero para mi es la forma "correcta" de verlo, porque en realidad que el coseno es [math] es bastante obvio: es Pitágoras!

Suponganse [math], [math] son normales. El chiste de definir el coseno del angulo que forman como [math] es que ese numerito hace que [math] sea la proyección de [math] sobre la recta que genera [math]. Es decir, [math] y [math] son ortogonales. Y por pitágoras, como la norma de [math] es [math], ahi les queda que [math], el controversial "coseno menor o igual a uno". Y ahi sale Cauchy en general.
2  

Avatar de Usuario
Vladislao

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 785
Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Córdoba

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 21 Dic, 2013 8:41 pm

gstefanich escribió:Voy a hacer una pseudodefensa de lo que dice Luis. Y voy a llamar [math] al producto escalar del que venían hablando.

Está bien que decir que Cauchy vale porque el "coseno del angulo entre los vectores" (definido con esa cuenta) es [math] no nos sirve mucho si no sabemos una demostración de eso, porque al fin y al cabo son el mismo enunciado pero camuflados. Pero para mi es la forma "correcta" de verlo, porque en realidad que el coseno es [math] es bastante obvio: es Pitágoras!

Suponganse [math], [math] son normales. El chiste de definir el coseno del angulo que forman como [math] es que ese numerito hace que [math] sea la proyección de [math] sobre la recta que genera [math]. Es decir, [math] y [math] son ortogonales. Y por pitágoras, como la norma de [math] es [math], ahi les queda que [math], el controversial "coseno menor o igual a uno". Y ahi sale Cauchy en general.
Nunca había visto la última respuesta de Ivan. Lo que quería decir al comenzar todo este debate es que la manera clásica de construir una definición de ángulo consiste en hacerlo con la cuentita usando el producto interno y las normas, y para eso sí o sí se necesita tener la desigualdad de Cauchy-Schwarz ya probada. (Más formalmente, si querés definir el ángulo [math] entre [math] y [math] como el arcocoseno de [math], es necesario tener ya demostrado que ese cociente tiene módulo menor que 1).
Sin embargo, lo que digo es que se puede ir exactamente al revés, definiendo el ángulo usando la proyección de un vector sobre otro (lo cual es, desde mi punto de vista, más gráfico y más intuitivo) y después probando la desigualdad de Cauchy de la manera obvia. El post de Germán es bastante claro.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Avatar de Usuario
JPablo
Mensajes: 353
Registrado: Lun 25 Mar, 2013 9:00 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por JPablo » Mié 29 Ene, 2014 3:27 pm

Ivan escribió:Demostración:
Si [math] para todo [math] estamos (y vale la igualdad).

Si no, consideremos el polinomio cuadrático [math].

Notemos que el coeficiente de [math] no es [math], así que el razonamiento que hacemos a continuación es válido.

Es claro que [math]. Entonces si llamamos [math] al discriminante de ese polinomio, tenemos [math].

Pero [math], se puede escribir como [math], que es la desigualdad que queríamos.

Más aún, [math] el polinomio tiene una raíz [math] tal que [math] para todo [math]. Esto muetra cuando vale la igualdad.

Esta es la demostración habitual de Cauchy-Schwarz, también hay una usando álgebra lineal.
Hay una cosa que me quedó en duda. ¿Por qué en todas las sumatorias usás [math] menos en la primera, que usás i=0?

Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador
Mensajes: 980
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 31 Ene, 2014 12:33 pm

JPablo escribió:Hay una cosa que me quedó en duda. ¿Por qué en todas las sumatorias usás [math] menos en la primera, que usás i=0?
Es un error de tipeo :P
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Avatar de Usuario
JPablo
Mensajes: 353
Registrado: Lun 25 Mar, 2013 9:00 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por JPablo » Vie 31 Ene, 2014 8:06 pm

Ivan escribió:
JPablo escribió:Hay una cosa que me quedó en duda. ¿Por qué en todas las sumatorias usás [math] menos en la primera, que usás i=0?
Es un error de tipeo :P
Ahhh listo, entonces ahora lo entiendo :) jaja gracias

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 760
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S)

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 12 Ago, 2018 7:31 pm

Otra demostración:
Spoiler: mostrar
Por AM-GM tenemos $$\frac{a_j^2}{\sum \limits _{i=1}^n a_i^2}+\frac{b_j^2}{\sum \limits _{i=1}^n b_i^2}\geqslant \frac{2a_jb_j}{\sqrt{\left (\sum \limits _{i=1}^n a_i^2\right )\left (\sum \limits _{i=1}^n b_i^2\right )}}$$ para $j=1,2,\ldots ,n$

Sumando todo obtenemos $$\frac{\sum \limits _{j=1}^n a_j^2}{\sum \limits _{i=1}^n a_i^2}+\frac{\sum \limits _{j=1}^n b_j^2}{\sum \limits _{i=1}^n b_i^2}\geqslant \frac{\sum \limits _{j=1}^n 2a_jb_j}{\sqrt{\left (\sum \limits _{i=1}^n a_i^2\right )\left (\sum \limits _{i=1}^n b_i^2\right )}}$$ que es equivalente a $$2\geqslant \frac{\sum \limits _{i=1}^n 2a_ib_i}{\sqrt{\left (\sum \limits _{i=1}^n a_i^2\right )\left (\sum \limits _{i=1}^n b_i^2\right )}}$$ es decir $$\left (\sum \limits _{i=1}^n a_i^2\right )\left (\sum \limits _{i=1}^n b_i^2\right )\geqslant \left (\sum \limits _{i=1}^n a_ib_i\right )^2$$

Además, la igualdad se da si y sólo si $$\frac{a_j^2}{\sum \limits _{i=1}^n a_i^2}=\frac{b_j^2}{\sum \limits _{i=1}^n b_i^2}\Leftrightarrow \frac{a_j^2}{b_j^2}=\frac{\sum \limits _{i=1}^n a_i^2}{\sum \limits _{i=1}^n b_i^2}\Leftrightarrow \frac{a_j}{b_j}=\sqrt{\frac{\sum \limits _{i=1}^n a_i^2}{\sum \limits _{i=1}^n b_i^2}}$$ para $j=1,2,\ldots ,n$, es decir, si y sólo si $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots =\frac{a_n}{b_n}$
[math]

Responder