shortlist Baltic Way 2011 - Bonito Problema

[Emerson Soriano]

Sean [math]x_1, x_2, ... , x_{2011} números reales tales que [math]x_1+x_2=2y_1, x_2+x_3=2y_2, ... , x_{2011}+x_1=2y_{2011}, donde los números [math]y_1, y_2, ... , y_{2011} son una permutación de [math]x_1, x_2, ... , x_{2011}. Demostrar que [math]x_1=x_2= ... =x_{2011}.

[Prillo]

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Con los indices modulo [math]n = 2011: [math]\forall i, x_i + x_{i + 1} = 2y_i [math]\Rightarrow \forall i, (x_i + x_{i + 1})^2 = (2y_i)^2 [math]\Rightarrow \sum_{i = 1}^n (x_i + x_{i + 1})^2 = \sum_{i = 1}^n (2y_i)^2 = \sum_{i = 1}^n (2x_i)^2 [math]\Rightarrow \sum_{i = 1}^n (x_i - x_{i+1})^2 = 0 y luego todos los [math]x_i son iguales.

[Fran5]

Una solución a lo Arthur Engel, dicha de manera informal

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Agarra [math]m tal que [math]y_m \leq y_i para todo [math]1 \leq i \leq 2011

Entonces fijate que [math]x_m+x_{m+1} = 2y_m \Rightarrow x_m=x_{m+1}=y_m

Repetis lo mismo con [math]y_w=x_{m+1} ([math]y_w es [math]x_{m+1} en la permutación)

Te das cuenta que se hace un ciclo de igualdades

Seguis así hasta que te das cuenta que necesariamente todos los [math]x_i son iguales

Lo Formalizas.

Fin

[Ivan]

Una solución no muy elemental (usando álgebra lineal).

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Lema: Sea [math]M una matriz de [math]n\times n con coeficientes enteros. Sea [math]p un primo. Entonces la multiplicidad de [math]p como autovalor de [math]M es a lo sumo el exponente de [math]p en [math]\det(M).
Demostración:

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Sea [math]\chi(x)=\det(I x - M) el polinomio característico de [math]M. Si [math]p tiene multiplicidad [math]a entonces podemos factorizar [math]\chi(x)=(x-p)^a f(x) con [math]f\in \mathbb{Z}[x]. Ahora

[math]\det(M)=(-1)^n \chi(0)=(-1)^{n+a}\cdot p^a\cdot f(0)

y por lo tanto [math]p^a\mid \det(M).

Consideramos la matriz [math]A de [math]2011\times 2011 dada por:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix}

Queremos ver que si [math]P es una matriz de permutación de [math]2011\times 2011, entonces las únicas soluciones de [math]PA\cdot v = 2 v son de la forma [math]v=(x,x,x,x,\cdots,x,x). Para esto alcanza con probar que la multiplicidad de [math]2 como autovalor de [math]PA es [math]1.

Pero como [math]\det(A)=2, tenemos [math]\det(PA)=\det(P)\det(A)=\pm 2 y por el lema estamos [math]\blacksquare