Suma de potencias

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amcandio

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Suma de potencias

Mensaje sin leer por amcandio »

Tenemos la siguiente identidad:

[math]

Demostracion:
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Demostremoslo por induccion

para [math] es cierto, para [math] es cierto. Ahora supongamos que se cumple para [math], entonces tenemos [math], si le sumamos a ambos lados [math] nos queda [math]
que es igual a [math], luego si se cumple para [math], entonces se cumple para [math], luego como se cumple para [math] y para [math], entonces se cumple para todo entero positivo [math], como queriamos demostrar
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"Prillo es el Lanata de la trigonometria"
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JPablo
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Re: Suma de potencias

Mensaje sin leer por JPablo »

Otra demostración, sin inducción:
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Sea [math]. Notemos que

[math]

Por lo tanto se deduce que [math]
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Fran5

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Re: Suma de potencias

Mensaje sin leer por Fran5 »

Me tenté a subir otra demostración
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Pensemos todo en base [math]. Sea [math]


[math]

Y de aqui se ven bien lindos los casos particulares [math] y [math]
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Vladislao

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Re: Suma de potencias

Mensaje sin leer por Vladislao »

Fran5 escribió:Me tenté a subir otra demostración
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Pensemos todo en base [math]. Sea [math]


[math]

Y de aqui se ven bien lindos los casos particulares [math] y [math]
Una demostración que sólo anda para [math] entero positivo [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Fran5

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Re: Suma de potencias

Mensaje sin leer por Fran5 »

Vladislao escribió: Una demostración que sólo anda para [math] entero positivo [math].
Sirve para [math] real mayor a [math].

En efecto, es claro que [math]

Y a su vez [math]

Lo cual es una suma telescópica que resulta [math]

La motivación de usar base [math] es el hecho que al tener todos [math] se hace un acarreo hacia [math] al sumarle [math]
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Vladislao

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Re: Suma de potencias

Mensaje sin leer por Vladislao »

La idea como motivación es simple. Escribir en base [math], sin embargo, por cuestiones de unicidad y de mera utilidad sólo está definido para enteros positivos mayores que 1. Fijate que no se puede escribir uno en base pi (y ni siquiera se sabe cuales son los dígitos en tal base).
Si tu idea de escribir en esa base es tomándolo como una notación, entonces la demostración es exactamente igual a la de JPablo.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
leonarsc
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Re: Suma de potencias

Mensaje sin leer por leonarsc »

sale por cocientes notables :?:
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Emerson Soriano

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Re: Suma de potencias

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Lo que pasa que las "fórmulas" de cocientes notables son una consecuencia, o sea, se hizo gracias a que alguien demostró que es cierto, mas no se puede usar para demostrarla. Es como querer demostrar un teorema usando el mismo teorema.
Nowhereman

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Re: Suma de potencias

Mensaje sin leer por Nowhereman »

No se por que se complican :roll:
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multiplicando por [math] se tendrá que:

[math]
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