Desigualdad de Schür

[Vladislao]

Sean [math]x,y,z números reales positivos y [math]n un número real positivo. Entonces:

[math]x^n(x-y)(x-z)+y^n(y-z)(y-x)+z^n(z-x)(z-y)\geq 0

Demostración:

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Supongamos, sin pérdida de generalidad, que [math]x\leq y \leq z. Es claro que [math]z^n(z-x)(z-y)\geq 0. Y es muy sencillo ver que [math]|z^n(z-x)(z-y)|\geq |y^n(y-z)(y-x)|.

Además, como [math]x-y\leq 0, y [math]x-z\leq 0, entonces [math](x-y)(x-z)\geq 0, y por lo tanto [math]x^n(x-y)(x-z)\geq 0.

Dicho todo esto, la desigualdad se deduce trivialmente.

[Gianni De Rico]

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Supongamos sin pérdida de generalidad que $x\geqslant y\geqslant z$, luego la desigualdad es equivalente a ver $$(x-y)[x^n(x-z)-y^n(y-z)]+z^n(x-z)(y-z)\geqslant 0$$ que claramente es cierto. Además, la igualdad se da si y sólo si $x=y=z$ o $x=y\wedge z=0$.