Límite de una suma es la suma de límites

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Yanes

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Límite de una suma es la suma de límites

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Sea $f_i:\text{Dom}_i\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \text{Im}_i\subseteq \mathbb{R}$
$\Rightarrow \lim \limits _{x\to x_0}\left (f_1(x)+f_2(x)\right )=\lim \limits _{x\to x_0}f_1(x)+\lim \limits _{x\to x_0}f_2(x)$
Demostración:
Spoiler: mostrar
En otras palabras queremos demostrar que:
$\lim \limits _{x\to x_0}f_1(x)=L_1,~\lim \limits _{x\to x_0}f_2(x)=L_2$
$\Rightarrow \lim \limits _{x\to x_0}\left (f_1(x)+f_2(x)\right )=L_1+L_2$
Recordamos la definición de límite:
$\forall \varepsilon > 0,~\exists ~\delta <0~/~0<|x-x_0|<\delta$
$\Rightarrow f(x)-L|<\varepsilon ~/~f:\text{Dom}\subseteq \mathbb{R}\to \text{Im}\subseteq \mathbb{R}$
$\lim \limits _{x\to x_0}f(x)=L$
Aplicamos a nuestro caso:
$\forall \varepsilon >0,~\exists ~\delta <0~/~0<|x-x_0|<\delta$
$\Rightarrow |f_1(x)-L_1|\varepsilon _1,~|f_2(x)-L_2|<\varepsilon _2$
$\Rightarrow |f_1(x)-L_1|+|f_2(x)-L_2|<\varepsilon _1+\varepsilon _2$

Aplicamos la propiedad de la desigualdad del triángulo:
$|f_1(x)-L_1+f_2(x)-L_2|\leq |f_1(x)-L_1|+|f_2(x)-L_2|$

Por transitividad tenemos:
$|f_1(x)-L_1+f_2(x)-L_2|<\varepsilon _1+\varepsilon _2=\varepsilon$
$|f_1(x)+f_2(x)-(L_1+L_2)|<\varepsilon$
$\Rightarrow \lim \limits _{x\to x_0}\left (f_1(x)+f_2(x)\right )=L_1+L_2$
Reemplazamos:
$\lim \limits _{x\to x_0}\left (f_1(x)+f_2(x)\right )=\lim \limits _{x\to x_0}f_1(x)+\lim \limits _{x\to x_0}f_2(x)$
Última edición por Yanes el Lun 03 Feb, 2020 1:23 am, editado 2 veces en total.
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Fran5

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Re: Límite de una suma es la suma de límites

Mensaje sin leer por Fran5 »

Esto vale para toda suma finita :)
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