Número de Oro 2018 - P6

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2018 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Sep, 2018 4:16 pm

Para cada natural $k$ sea $N(k)$ el entero con $k$ dígitos todos iguales a $1$ (por ejemplo, $N(2)=11$, $N(3)=111$, $N(4)=1111$, $\ldots$). Pruebe que cada número natural $n>1$ coprimo con $10$ divide a una infinidad de términos de la sucesión $\{N(k)\}_{k\in \mathbb{N}}$.
[math]

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Turko Arias

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Re: Número de Oro 2018 - P6

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 10 Sep, 2018 8:20 pm

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Primero notemos que si $N(k)$ es divisible por $n$ entonces $10^kN(k)+N(k)$ también lo será, y además $10^kN(k)+N(k)=N(2k)$, y en general, se ve trivialmente que para cualquier $m$ entero positivo, $N(mk)$ es divisible por $n$. Luego, nuestro problema se reduce a ver que existe algún $k$ que cumple lo pedido, porque a partir de uno ya vimos como construírnos infinitos.
Sea $n$ con todas las hipótesis del enunciado, tomemos los primeros $n+1$ elementos de la sucesión. Como hay $n$ restos posibles módulo $n$ entonces por Palomar existen $a$ y $b$ distintos, ambos entre $1$ y $n+1$, tales que $N(a)\equiv N(b) (n)$. Sin pérdida de generalidad $a<b$. Consideremos ahora el número $N(b)-N(a)=N(b-a)10^a$, es claro que $N(b-a)10^a\equiv 0(n)$. Como $(n,10^a)=1$ entonces $10^a$ tiene inverso módulo $n$, llamémoslo $r$. Luego $N(b-a)10^ar\equiv 0r(n)$, con lo que $N(b-a)\equiv 0(n)$, y una vez que probamos que existe uno, por lo enunciado al principio, existen infinitos. $\blacksquare$
Un comentario respecto del problema:
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