Número de Oro 2018 - P3

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
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Gianni De Rico

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Número de Oro 2018 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Sep, 2018 4:09 pm

Determine todas las ternas $(a,b,c)$ de primos positivos tales que el polinomio cuadrático $aX^2+bX+C$ sea reducible en $\mathbb{Q}[X]$, donde $\mathbb{Q}$ denota el cuerpo de números racionales.
[math]

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Fran5

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Re: Número de Oro 2018 - P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 23 Sep, 2018 4:33 pm

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Primero supongamos que $a=b=c$. Luego $ax^2+bx+c=a(x^2+x+1)=a(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$, que no es reducible en $\mathbb{Q}[x]$

Ahora utilizaremos el siguiente lema de Gauss:

Sea $p \in \mathbb{Z}[x]$. Supongamos que $p = st$ con $s,t \in \mathbb{Q}[x]$. Luego existe $c \in \mathbb{Q}$ tal que $cs, c^{-1}t \in \mathbb{Z}[x]$.

Demo (idea)
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La demo no es muy trivial, pero una idea es la siguiente:
- Considerar $n \in \mathbb{Z}$ tal que tanto $\tilde{s} = ns$ y $\tilde{t} = nt \in \mathbb{Z}[x]$
- Para cada primo $q | n$, como $q$ divide a todos los coeficientes de $np = nst$, ver que $q$ debe dividir a todos los coeficientes de $ns$ ó $nt$.
- Dividir el correspondiente polinomio $\tilde{s}$ ó $\tilde{t}$ del lado derecho por $q$ para obtener un nuevo polinomio $\tilde{s}$ ó $\tilde{t}$ con coeficientes enteros.
- Seguir hasta haber dividido a $n$ por todos sus divisores primos, de modo que $p = \tilde{s}\tilde{t}$ con $\tilde{s} = cs$ y $\tilde{t} = c^{-1}t$

Luego podemos pensar que $ax^2+bx+c = (mx+n)(kx+l)$, con $m,n,k,l \in \mathbb{Z}$.

Como $(mx+n)(kx+l) = mkx^2 + (ml+kn)x+nl$, obtenemos que $mk=a$, $nl=c$. Luego hay $2$ posibilidades (pues otras son simétricas)
  • $m=a,k=1,n=c,l=1$
    De este modo $b = m+n = a+c$, con lo cual $a$ y $b$ ó $a$ y $c$ deben ser primos gemelos.
  • $m=a, k=1,n=1,l=c$
    De este modo $b = ml+1 = ac+1 \geq 5$. Luego como es primo debe ser $a=2$ ó $c=2$.
En conclusión, las ternas $(a,b,c)$ deberían ser las de la forma

$(a,b,c) = (p,q,2)$, donde $p,q$ primos gemelos
$(a,b,c) = (2,p,q)$, donde $p,q$ primos gemelos
$(a,b,c) = (2,2p+1,p)$, donde $p$ es primo de Germain
$(a,b,c) = (p,2p+1,2)$, donde $p$ es primo de Germain
Comentario:
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Tanto en el caso de los primos gemelos como en los primos de Germain, se desconoce si existen infinitos primos con tales propiedades
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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