Número de Oro 2018 - P2

[Gianni De Rico]

Dado el rectángulo $ABCD$, por un punto $P$ de la diagonal $BD$ se trazan paralelas a sus lados que los cortan en los puntos $E$, $F$, $G$ y $H$ pertenecientes, respectivamente, a los lados $AB$, $AD$, $BC$ y $CD$. Determine el punto $P$ tal que la relación entre las áreas de los rectángulos $AEPF$ y $PGCH$, en algún orden, sea $\frac{5}{4}$.

[Gianni De Rico]

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Veremos que no existe tal $P$. Por Thales tenemos
$\frac{PE}{AD}=\frac{BP}{BD}\Rightarrow PE=AD\frac{BP}{BD}$
$\frac{PF}{AB}=\frac{DP}{BD}\Rightarrow PF=AB\frac{DP}{BD}$
$\frac{PG}{CD}=\frac{BP}{BD}\Rightarrow PG=CD\frac{BP}{BD}$
$\frac{PH}{BC}=\frac{DP}{BD}\Rightarrow PH=BC\frac{DP}{BD}$

Luego $(AEPF)=PE\cdot PF=AD\cdot AB\frac{BP\cdot DP}{BD^2}=(ABCD)\frac{BP\cdot DP}{BD^2}=CD\cdot BC\frac{BP\cdot DP}{BD^2}=PG\cdot PH=(PGCH)$
Por lo tanto $\frac{(AEPF)}{(PGCH)}=1=\frac{(PGCH)}{(AEPF)}$.
Queda demostrado que no existe un punto $P$ que cumpla lo pedido.