Número de Oro 2018 - P1

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 753
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Número de Oro 2018 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Sep, 2018 4:01 pm

Hallar todos los enteros positivos $n$ y $m$ tales que el número racional $$\frac{n^2+2n-3}{2^m}$$ sea un entero impar.
[math]

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 821
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Número de Oro 2018 - P1

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 23 Sep, 2018 12:58 pm

Spoiler: mostrar
Como es un garron contar el $m$ en funcion de $n$, vamos a contar $n$ en funcion de $m$.

Vemos que $n^2 + 2n -3 = (n-3)(n+1)$
Ademas como $m \geq 1$ debe ser $(n-3)(n+1)$ par, ergo multiplo de $4$.
Luego debe ser $m \geq 2$.

Pra que sea todo más comodo, tomemos $a = n+1$, de modo que $(n-3)(n+1) = a(a-4)$.

Si $m = 2$ tenemos que
$a(a-4)$ es múltiplo de $4$ y no de $8$. Entonces debe ser $a = 4k+2 = 2(2k+1)$

Ahora, observemos que si alguno de $a$ ó $a-4$ es múltiplo de $4$, entonces el otro también lo será.
Más aun, alguno de los dos será múltiplo de $2^{m'}$ para $m' \geq 3$ y el otro será sólo múltiplo de $4 = 2^2$.
De este modo debe ser $m = m' + 2 \geq 5$.

Si $a$ es múltiplo de $2^{m'}$ entonces $a = 2^{m'}(2k+1)$
Si $a-4$ es múltiplo de $2^{m'}$ entonces $a = 2^{m'}(2k+1) + 4$

Luego nuestras soluciones $(a,m)$ son de la forma

$(a,m) = (4k+2, 2)$
$(a,m) = (2^{m'}(2k+1), m'+2)$
$(a,m) = (2^{m'}(2k+1)+4, m'+2)$

donde $m' \geq 3$ y $k\geq 0$.

En términos del enunciado, nuestras soluciones $(n,m)$ son de la forma

$(n,m) = (4k+1, 2)$
$(n,m) = (2^{m'}(2k+1)-1, m'+2)$
$(n,m) = (2^{m'}(2k+1)+3, m'+2)$

donde $m' \geq 3$ y $k\geq 0$.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Responder