CIMA - Problema 4 (Competencia Interuniversitaria)

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
sebach

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CIMA - Problema 4 (Competencia Interuniversitaria)

Mensaje sin leer por sebach » Jue 21 Jun, 2018 7:54 pm

Sea $G = {A_1, \ldots , A_d}$ un conjunto finito de matrices distintas en $Gl_n(\mathbb{C})$ con la propiedad de que $A_i*A_j \in G$ para todos $1 \leq i,j \leq d$.
Probar que si $\sum_{i=1}^{d} tr(A_i) = 0 \in \mathbb{C}$, entonces $\sum_{i=1}^{d} A_i = 0 \in \mathbb{C}^{n x n}$ (es decir, es la matriz nula).

Aclaración: $Gl_n(\mathbb{C})$ son las matrices inversibles de tamaño $n$ x $n$ con entradas en los complejos. Para una matriz cuadrada $C = (C_{rs})$, se define $tr(C)$ como la suma $C_{11} + C_{22} + \ldots + C_{nn}$.

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Re: CIMA - Problema 4 (Competencia Interuniversitaria)

Mensaje sin leer por JPablo » Dom 24 Jun, 2018 12:56 am

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Para cada $i\in \left [1,d\right ]\cap \mathbb{N}$ la función $f_i:G\to G$ tal que $f_i\left (X\right )=A_iX$ tiene, por hipótesis, bien definido el codominio y, por ser $A_i$ una matriz inversible, resulta inyectiva. Al ser $G$ un conjunto finito, resulta biyectiva. Llamando $A:=\sum_{i=1}^dA_i$, se tiene entonces que $A_iA=A$ para todo $i\in \left [1,d\right ]\cap \mathbb{N}$. Por consiguiente, $A^2=\left (\sum_{i=1}^dA_i\right )A=\sum_{i=1}^dA=dA$, por lo tanto, llamando $m_A\in \mathbb{C}\left [X\right ]$ al polinomio minimal de $A$, se tiene $m_A\mid X\left (X-d\right )$, de donde los únicos autovalores posibles para $A$ son $0$ y $d$. Pero la traza de $A$, que coincide con la suma de sus autovalores contados con multiplicidad, es igual a cero (usando la hipótesis y el hecho de que la traza es una transformación lineal en el espacio de matrices). Como $d\in \mathbb{N}$ entonces $d$ no puede ser autovalor de $A$ y por consiguiente no puede ser raíz de su polinomio minimal, con lo cual $m_A\mid X$ y por lo tanto $m_A=X$, de donde $A=0$.

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