Es usar el truco clásico [math]\dfrac{1}{k(k+m)} = \dfrac{1}{m}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+m}\right). La suma telescopea y se cancelan todos los factores desde [math]k>m y así el resultado queda [math]\dfrac{1}{m}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^m \dfrac{1}{k}\right) = \dfrac{H_m}{m} ([math]H_m es la suma de los primeros [math]m recíprocos).
Veamos que [math]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+m)} converge.
[math]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+m)} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{m} * \frac{k+m-k}{k(k+m)} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{m} * (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+m}). Esto converge si y solo si [math]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m} converge.
Veamos que cuando [math]n tiende a [math]\infty entonces [math]\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{n+m} tiende a [math]0 ([math]m fijo). En efecto, tenemos que: [math]0\leq \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{n+m} \leq \frac{1}{n}*m = \frac{m}{n}. Cuando [math]n tiende a [math]\infty, [math]\frac{m}{n} tiende a [math]0. Luego, por Teorema del Sandwich, cuando [math]n tiende a [math]\infty entonces [math]\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{n+m} tiende a [math]0.
Entonces podemos decir que cuando [math]n tiende a [math]\infty, [math]\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m} tiende a [math]1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...+ \frac{1}{m}.
