Uno de Raíces continuas

[3,14]

Sea:
[math]f(x)=\sqrt {x^2+x+1-\sqrt {x^2+x+1+\sqrt {x^2+x+1-...}}}
(Notar que los signos delante de cada raíz alternan entre [math]+ y [math]-)
Donde el resultado de [math]\sqrt n siempre se elige positivo o cero (nunca negativo).
a) Determinar el valor de [math]f(x) para todo [math]x> 0.
b) Determinar el valor de [math]f(x) para aquellos valores de [math]x<0 para los cuales [math]f(x) está determinada.

[Vladislao]

Sea:
[math]f(x)=\sqrt {x^2+x+1-\sqrt {x^2+x+1+\sqrt {x^2+x+1-...}}}
(Notar que los signos delante de cada raíz alternan entre [math]+ y [math]-)
Donde el resultado de [math]\sqrt n siempre se elige positivo o cero (nunca negativo).
a) Determinar el valor de [math]f(x) para todo [math]x> 0.
b) Determinar el valor de [math]f(x) para aquellos valores de [math]x<0 para los cuales [math]f(x) está determinada.

La función no está definida de forma clara. En cualquier caso, esto es un problema de límites que no tiene mucho que ver con Olimpíadas, así que lo muevo a Nivel 4.

[3,14]

a)

Spoiler: mostrar

Sea [math]a=f(x). Entonces:
[math]a=\sqrt {x^2+x+1-\sqrt{x^2+x+1+a}}
[math]a^2=x^2+x+1-\sqrt {x^2+x+1+a}
[math](a-x)(a+x)=x+1-\sqrt {x^2+x+1+a}
Supongamos que [math]a>x. Entonces:
[math](a-x)(a+x)>0
Pero:
[math]x+1-\sqrt {x^2+x+1+a}<x+1-\sqrt {x^2+2x+1}=x+1-\sqrt {(x+1)^2}=x+1-(x+1)=0
Entonces:
[math](a-x)(a+x)<0
Absurdo!!

Supongamos que [math]a<x
Entonces:
[math](a-x)(a+x)<0
Pero:
[math]x+1-\sqrt {x^2+x+1+a}>x+1-\sqrt {x^2+2x+1}=0
Entonces:
[math](a-x)(a+x)>0
Absurdo!!

Entonces la única opción es [math]a=x. Observemos que [math]a=x cumple:
[math]x=\sqrt {x^2+x+1-\sqrt {x^2+2x+1}}
[math]x=\sqrt {x^2+x+1-x-1}
[math]x=\sqrt {x^2}
[math]x=x
Que es cierto.

Por lo tanto, [math]f(x)=x para todo [math]x>0

[3,14]

No entiendo a qué te referís cuando decís que no está definida en forma clara.

[Vladislao]

No entiendo a qué te referís cuando decís que no está definida en forma clara.

Que en realidad tu función es el límite de una sucesión de funciones, que en un caso así es mejor dejar explícita.

Por ejemplo, pensá en este problema:

Consideremos [math]x>0 fijo y la sucesión definida por: [math]a_1 = x, [math]a_n=1+\sqrt{a_{n-1}} para [math]n\geq 2. ¿Para qué valores de [math]x existe [math]\lim_{n\to\infty} a_n? ¿Cuánto vale (cuando existe) ese límite?

Algo que ayuda siempre es llevar el problema a una formulación como esa.