Número de ORO 2015 P10

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
LuchoLP

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Número de ORO 2015 P10

Mensaje sin leer por LuchoLP » Sab 05 Sep, 2015 8:31 pm

Sea [math] el triángulo rectángulo de catetos [math] y [math]. El punto [math] denota la intersección de la bisectriz del ángulo [math] con el lado [math]. Al trazar la circunferencia [math] de centro [math] y radio [math] se obtienen los puntos [math] y [math], intersección de [math] con la bisectriz trazada, siendo [math] el punto más alejado de [math]. Calcular el cociente [math].

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Fran5

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Re: Número de ORO 2015 P10

Mensaje sin leer por Fran5 » Sab 05 Sep, 2015 10:26 pm

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Vamos a manipular todo para llegar a algo lindo. (?

Observamos primero que los lados de [math] implican que [math], por teorema de la bisectriz.
Luego, por pitágoras, [math]

Ahora,



[math]
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JPablo
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Re: Número de ORO 2015 P10

Mensaje sin leer por JPablo » Lun 07 Sep, 2015 6:34 pm

Una forma muy directa:
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Por Teorema de la Bisectriz [math]. Como [math] es diámetro, [math]. Luego, por Potencia de un Punto [math], y como [math], resolviendo la cuadrática hallamos [math] y volviendo a [math] hallamos [math]. Dividiendo por [math] llegamos al resultado.

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Re: Número de ORO 2015 P10

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 09 Sep, 2018 7:02 pm

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Por Pitágoras $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$, por el Teorema de la Bisectriz $\frac{OA}{OB}=\frac{CA}{CB}=\frac{5}{3}\Rightarrow OA=\frac{5}{3}OB\Rightarrow 4=AB=OB+OA=OB+\frac{5}{3}OB=\frac{8}{3}OB\Rightarrow OB=\frac{3}{2}$
Por Pitágoras $CO=\sqrt{BC^2+BO^2}=\sqrt{3^2+\left (\frac{3}{2}\right )^2}=\sqrt{\frac{36}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{5}$
Luego, $PC=CO+OP=\frac{3}{2}\sqrt{5}+\frac{3}{2}=3\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $PQ=2OB=3$
Por lo tanto $\frac{PC}{PQ}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$
[math]

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