Parabolas

Para discutir problemas de competencias para graduados de secundaria (Número de Oro, CIMA/Paenza, etcétera) y problemas que requieran conocimientos avanzados.
ricarlos
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Parabolas

Mensaje sin leer por ricarlos »

Sea [math] un triangulo. Sean las parabolas [math], [math] y [math], respectivamente, con foco en [math] y directriz [math], foco en [math] y directriz [math] y foco en [math] y directriz [math]. Demostrar que las 3 parabolas no intersectan entre si.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
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Gianni De Rico

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Re: Parabolas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Se supone que hay una forma linda de hacer esto?
O sea, sin masacrarlo con analítica...

Edit:
Bueno, el problema así como está es falso, si $CA=AB$ y $D$ es el opuesto diametral de $A$ en $\odot ABC$, entonces obviamente $D$ está en $P_a$ y $P_b$. Habría que ver si hay una solución linda cuando el triángulo es escaleno.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
tuvie

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Re: Parabolas

Mensaje sin leer por tuvie »

No lo pense mucho, pero calculo que usando lo siguiente debería salir:
Spoiler: mostrar
Que una parabola es el lugar geométrico de los puntos P que cumplen que la distancia al foco es la misma que la distancia a la directriz.
Juaco

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Re: Parabolas

Mensaje sin leer por Juaco »

Spoiler: mostrar
Como bien decía tuvie, una de las definiciones de parábola es que es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto y una recta los cuales son llamados foco y directriz respectivamente, y eso es lo que voy a usar para demostrar que solo se intersectan (cuando lo hacen son tangentes, o sea solo se cortan en un punto) cuando el triángulo ABC es isósceles.

Imagina que trazo $P_a$ y $P_c $ y que se cortan en un punto P (por ahora no estoy asumiendo que es el único punto de corte, solo lo elijo como un punto común a las dos parábolas), y trazo las proyecciones desde P a AB y BC que van a ser A' y C' respectivamente.
Ahora por definición de parábola tenemos que PA=PC'=a y PC=PA'=b como $P\hat {A'}C$ es recto entonces $b\geq a $ pero analogamente tenemos que $a\geq b $ entonces a=b y
PA=PA'=PC=PC'

Tenemos que PA=PA' y $P\hat {A'}A $ = $90^0$ entonces A=A' y analogamente C=C' por lo que $P\hat {A}B$ y $P\hat {C}B $ son rectos y como PA=PC entonces $P\hat {A}C $ = $P\hat {C}A $ = $\alpha $ entonces
$C\hat {A}B = A\hat {C}B = 90 - \alpha $ por lo que AB=BC

Llegué a este resultado asumiendo que
$P_a \cap P_c \ne \varnothing $ lo que quiere decir que si ABC es isósceles se cortan (en un solo punto) y si es escaleno, entonces no se cortan.
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