Ñandú - Regional - 2010 - Nivel 3 - Problema 1

[Pirógeno]

Dos jarras idénticas se llenan con café y leche.
En la primera jarra hay $\frac{3}{5}$ partes de leche, el resto es café.
En la segunda jarra hay $\frac{3}{4}$ partes de leche, el resto es café.
De la primera jarra se consume la tercera parte y se completa con la mezcla de la segunda jarra.
¿Cuál es ahora el porcentaje de café en la primera jarra?

[Luli97]

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Como se consume $\frac{1}{3}$ de la primera jarra, quedan $\frac{2}{3}$ de lo que había y en la misma proporción, es decir, quedan $\frac{2}{3}$ de la cantidad de leche que había y $\frac{2}{3}$ de la cantidad de café:

• Quedan $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$ de leche,

• y $\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$ de café.

Como queda $\frac{1}{3}$ de la primera jarra vacía y vamos a llenarla con el contenido de la segunda jarra, usaremos $\frac{1}{3}$ de lo que hay en la segunda jara y en la misma proporción:

• Pasamos $\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ de leche,

• y $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ de café.

Ahora, calculemos la cantidad de cada una que hay finalmente en la jarra:

• De leche, están los $\frac{2}{5}$ que habían quedo más $\frac{1}{4}$ que agregamos, en total $\frac{2}{5}+\frac{1}{4}=\frac{13}{20}$.

• De café, están los $\frac{4}{15}$ que habían quedo más $\frac{1}{12}$ que agregamos, en total $\frac{4}{15}+\frac{1}{12}=\frac{21}{60}=\frac{7}{20}$.

Notemos que la cantidad de leche más la cantidad de café suma $1$, esto debe ser así porque la jarra está llena.

Como el problema nos pedía el porcentaje de café que hay en la jarra, la respuesta será $\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=35\%$, y listo .