Provincial Ñandu 2013 N3 P1

[Ivan]

En un festival de cine exhiben $3$ películas: una comedia, un drama y una de acción.
La entrada para cada película cuesta $\$30$.
El día lunes, el $25\%$ de los espectadores vio la comedia, el $50\%$ de los espectadores vio el drama y el $45\%$ de los espectadores vio la de acción.
De los espectadores del día lunes, ninguno vio la comedia y la de acción; $105$ vieron el drama y la comedia; $35$ vieron el drama y la de acción.
El lunes, ¿cuántos espectadores vieron cada película?;
¿cuántos pagaron exactamente $\$30$?;
¿qué porcentaje de los espectadores vio solamente la película de acción?

[Fran5]

Lindo problema para refrescar diagrama de venn y regla de tres

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Notemos que el enunciado nos dice que

• [math]50\% miraron Drama
  [math]45\% miraron Acción
  [math]25\% miraron Comedia

Si sumamos todo, nos da un [math]120\%.

Este [math]20\% sobrante, corresponde con aquellas personas que vieron exactamente dos películas.
El [math]20\% es entonces las [math]105 personas que vieron Drama y Comedia, y las [math]35 personas que vieron Drama y Acción.

Entonces, aplicamos regla de tres

[math]20\% \rightarrow 105+35=140
[math]100\% \rightarrow 700
[math]50\% \rightarrow 350 (Las que vieron Drama)
[math]45\% \rightarrow 315 (Las que vieron Acción)
[math]25\% \rightarrow 175 (Las que vieron Comedia)

Para saber ahora cuántas personas pagaron exactamente [math][tex]\$30[/tex], restamos del total, que es [math]700 las [math]140 personas que vieron más de una película.
Luego, pagaron exactamente [math][tex]\$30[/tex] unas [math]700-140=560 personas

Por último, tenemos que vieron solamente la película de acción [math]315-35=280 personas, lo que corresponde a un [math]40\%

[Martín Vacas Vignolo]

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Una buena forma de interpretar gráficamente este problema es usando los Diagramas de Venn, donde cada circunferencia representa cada uno de los géneros: comedia, drama,acción. Además, las intersecciones de las circunferencias representan las personas que vieron al mismo tiempo esos géneros.

Como sabemos que nadie vio comedia y acción a la vez, quiere decir que ninguno vio las tres películas juntas, es decir la intersección triple es [math]0. Y las intersecciones dobles podemos completarlas con los datos del problema:

p1n3metroñ1.png

Si sumamos las tres circunferencias obtenemos el [math]120 \% de los espectadores, es decir hay un [math]20 \% de los espectadores que repitió película (intersecciones), o sea [math]140 personas son el [math]20 \%. Entonces, hay [math]140\times5=700 espectadores en total.

Al saber esto y los porcentajes podemos saber que hay:

-[math]700/4=175 espectadores de comedia
-[math]700/2=350 espectadores de drama
-[math]700:100\times45=7\times45=315 espectadores de acción

Por ejemplo, la circunferencia drama debe sumar [math]350, pero ya tenemos [math]140, es decir que sólo drama lo vieron [math]350-140=210 personas. Así completamos las tres circunferencias:

p1n3metroñ2.png

Luego, vieron sólo una película: [math]210+280+70=560 personas, y el porcentaje que vieron sólo acción es de [math]280:7=40 por ciento.