XXIX Olimpíada Matemática Ñandú - Certamen Intercolegial - Problema 5 / Nivel 2

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Sandy

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XXIX Olimpíada Matemática Ñandú - Certamen Intercolegial - Problema 5 / Nivel 2

Mensaje sin leer por Sandy »

Para un recital, Carla, Daniela, Edu, Fer y Gaby tienen $5$ asientos consecutivos, en primera fila. Si Carla se sienta al lado de Daniela y Gaby se sienta en una de las puntas ¿de cuántas maneras distintas pueden sentarse?
Fallo inapelable.

roxana
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Re: XXIX Olimpíada Matemática Ñandú - Certamen Intercolegial - Problema 5 / Nivel 2

Mensaje sin leer por roxana »

Alguien puede ayudarme y decirme si este enunciado tiene algun tipo de procedimiento para resolverlo? no lo practicaron en el colegio. Mi hijo lo hizo modificando lugares pero me parece medio extenso en tiempo y no muy certero. Agradezco pronta respuesta ya que mañana es el primer test de olimpiadas.

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Gianni De Rico

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Re: XXIX Olimpíada Matemática Ñandú - Certamen Intercolegial - Problema 5 / Nivel 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

roxana escribió:
Mié 18 May, 2022 11:06 am
Alguien puede ayudarme y decirme si este enunciado tiene algun tipo de procedimiento para resolverlo? no lo practicaron en el colegio. Mi hijo lo hizo modificando lugares pero me parece medio extenso en tiempo y no muy certero. Agradezco pronta respuesta ya que mañana es el primer test de olimpiadas.
Pensemos que tenemos los asientos de esta forma:\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&&&&\\\hline\end{array}y vamos a poner la inicial de cada persona en el lugar que se sienta. Por ejemplo, esto\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline E&C&G&F&D\\\hline\end{array}corresponde a que se sienten Edu-Carla-Gaby-Daniela-Fer (obviamente esta forma de sentarlos no respeta ninguna de las condiciones del enunciado, pero sirve para ejemplificar).

Como Gaby se sienta en una de las puntas, solamente podemos tener asientos del tipo\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &&&&G\\\hline\end{array}o\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline G&&&&\\\hline\end{array}así que solamente tenemos que contar de cuántas maneras podemos sentar a Carla, Daniela, Edu y Fer en $4$ asientos consecutivos, después tenemos que multiplicar esa cantidad por $2$ (porque tenemos la misma cantidad de formas cuando Gaby se sienta al principio que cuando Gaby se sienta al final). Vamos a contar eso entonces.

Como Carla y Daniela se sientan juntas, entonces siempre tenemos que reservar dos asientos consecutivos, así que las podemos sentar en los primeros dos asientos, en los dos del medio, o en los últimos dos. La idea clave acá es ver que las podemos pensar como una sola persona que ocupa dos asientos consecutivos, entonces tenemos que contar la cantidad de formas de sentar a $3$ personas (Edu, Fer y la persona "combinada" que forman Carla y Daniela) en $3$ asientos consecutivos, y después tenemos que multiplicar esa cantidad por $2$ (porque la persona combinada puede tener a Carla a la izquierda y a Daniela a la derecha o a Daniela a la izquierda y a Carla a la derecha). Vamos a contar eso entonces.

Por comodidad, llamamos a las nuevas personas $X,Y,Z$, y queremos ver de cuántas maneras distintas las podemos sentar en $3$ asientos consecutivos. Como dato, esto es lo que se conoce como una permutación, y la cantidad de permutaciones en este caso es $3!=1\times 2\times 3=6$, pero no importa, como son poquitos casos vamos a contarlos a mano. Las formas de sentarlos son\begin{array}{|c|c|c|}\hline X&Y&Z\\\hline\end{array}\begin{array}{|c|c|c|}\hline X&Z&Y\\\hline\end{array}\begin{array}{|c|c|c|}\hline Y&X&Z\\\hline\end{array}\begin{array}{|c|c|c|}\hline Y&Z&X\\\hline\end{array}\begin{array}{|c|c|c|}\hline Z&X&Y\\\hline\end{array}\begin{array}{|c|c|c|}\hline Z&Y&X\\\hline\end{array}que en total son $6$.

A ese $6$ lo teníamos que multiplicar por $2$ para contar los casos en los que se sientan Carla-Daniela o Daniela-Carla, lo que nos da $6\times 2=12$. A ese $12$ lo teníamos que multiplicar por $2$ para contar los casos en los que Gaby se sienta al principio o al final, lo que nos da $12\times 2=24$.

Entonces pueden sentarse de $24$ maneras distintas.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫

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