Provincial Ñandu 2013 N2 P3

[Ivan]

Juan completó esta tarjeta con números enteros positivos [math]A, [math]B, [math]C y [math]D, todos distintos de cero.

[math]\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A & B & C & D \\ \hline &&&\\ \hline\end{array}

Sin equivocarse, hizo esta cuenta

[math]407\times A+333\times B+2\times C+D

y obtuvo como resultado [math]2013.
¿De cuántas maneras distintas puede haber completado Juan la tarjeta?
Explica cómo las contaste.

[Martín Vacas Vignolo]

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Observemos que [math]A debe ser menor que [math]5, pues si fuera [math]5 o más, ya nos pasaríamos de [math]2013 (y al ser todos positivos, no podemos restarle nada para llegar a [math]2013).

Si [math]A=4, ya tenemos [math]407\times4=1628 y nos faltan [math]2013-1628=385. Pensando de la misma manera que con [math]A, [math]B debe ser [math]1, ya que si es [math]2 o más, nos pasamos de [math]385. Si [math]B=1, nos faltan [math]385-333=52. Es decir que [math]C debe ser menor a [math]26, pues si [math]C=26 o más, [math]D nos queda [math]0 o negativo.

Para cada valor que tome [math]C entre [math]1 y [math]25, va a haber un valor de [math]Dque complete los [math]2013 necesarios, es decir que acá tenemos [math]25 posibilidades.

Pensando de la misma manera en los demás casos, podemos armar la siguiente tabla:

tablan2p3.JPG

[Pirógeno]

Juan completó esta tarjeta con números enteros positivos A, B, C y D, todos distintos de cero.

n2 prov 2013 p3.jpg

Sin equivocarse, hizo esta cuenta 407xA + 333xB + 2xC + D y obtuvo como resultado 2013.
¿De cuántas maneras distintas puede haber completado Juan la tarjeta? Explica cómo las contaste.