Regional Ñandú 2013 N1 P1

[Martín Vacas Vignolo]

Para repartir al final del acto escolar se compraron $288$ alfajores.
Los alfajores vienen en paquetes de tres tamaños: pequeños, medianos y grandes.
Un paquete pequeño contiene $5$ alfajores y cuesta $\$25$.
Un paquete mediano contiene $10$ alfajores y cuesta $\$50$.
Un paquete grande contiene $18$ alfajores y cuesta $\$75$.
En total se compraron $31$ paquetes y se pagaron $\$1350$.
¿Cuántos paquetes pequeños, cuántos medianos y cuántos grandes se compraron?

[Melanie]

Tal vez esta solución exceda lo esperable de un chico de primer nivel, pero creo que el problema no estuvo del todo adecuado (habría que ver si a alguien se le ocurrió una solución más feliz. Si es así, posteénla!)

Pensaremos que P es la cantidad de paquetes pequeños, M es la cantidad de paquetes medianos y G es la cantidad de paquetes grandes.

Como en total hay 31 paquetes, sabemos que [math]31 = P + M + G. (1)

Además sabemos que se compraron 288 alfajores en total.
Como cada paquete pequeño tiene 5 alfajores y hay P paquetes pequeños, en total habrá [math]5 \times P alfajores que se encuentran en paquetes pequeños.
De la misma manera, como cada paquete mediano tiene 10 alfajores y hay M paquetes medianos, en total habrá [math]10 \times M alfajores que se encuentran en paquetes medianos.
Finalmente, como cada paquete grande tiene 18 alfajores y hay G paquetes grandes, en total habrá [math]18 \times G alfajores que se encuentran en paquetes grandes. Si sumamos 5P, 10M y 18G, obtendremos la cantidad total de alfajores (porque los alfajores que compraron están en alguno de estos tres tipos de paquetes). Así, concluimos que [math]288 = 5\times P + 10\times M + 18\times G. (2)

Ahora veamos qué podemos sacar de la información de que en total se gastaron \$1350.
Como cada paquete pequeño cuesta \$25 y hay P de ellos, costarán en total [math][tex]\$25\times P[/tex].
Como cada paquete mediano cuesta \$50 y hay M de ellos, costarán en total [math][tex]\$50\times M[/tex].
Como cada paquete grande cuesta \$75 y hay G de ellos, costarán en total [math][tex]\$75\times G[/tex].

Así, si sumamos lo que gastamos en paquetes chicos, medianos y grandes, obtendremos el total gastado. O sea, \$1350.
[math][tex]\$1350 = \$25\times P + \$50\times M + \$75\times G[/tex]. (3)


Así, con todas nuestras igualdades planteadas, las resolveremos.

Dividamos la última igualdad por 5 de ambos lados (esto lo podemos hacer porque todos los números son múltiplos de 5. Sabemos que si con 1350 pesos compraron estos paquetes, con 1350/5 = 270 comprarían la quinta parte de los paquetes que compraron). Así, nos queda

[math][tex]\$270 = \$5\times P + \$10\times M + \$15\times G[/tex].
Si miramos bien, esta igualdad es muy parecida a la (2). Reescribamos (2) de la siguiente manera:

[math]288 = 5\times P + 10\times M + 15\times G + 3\times G.
Pero ya vimos que [math][tex]\$270 = \$5\times P + \$10\times M + \$15\times G[/tex], entonces podemos reemplazar toda esa parte de la expresión por 270.
Así, nos queda [math]288 = 270 + 3\times G. Luego, G vale 6 (porque [math]288 = 270 + 3\times 6).

Ya sabiendo cuánto vale G, reemplazamos todo en las ecuaciones originales (1,2 y 3):

[math]31 = P + M + 6 \Rightarrow 25 = P + M
[math]288 = 5 \times P+10 \times M + 18 \times 6 \Rightarrow 180 = 5 \times P+10 \times M
[math]1350 = 25 \times P + 50 \times M + 75 \times 6 \Rightarrow 900 = 25 \times P + 50 \times M

A la tercera igualdad la divido por 25 (como hicimos antes, pero ahora por 25 en vez de 5, y funciona por la misma razón):
[math]36 = P + 2 \times M = P + M + M. (4)

La primera igualdad de las 3 que enumeramos recién es [math]25 = P + M. Nuevamente, si reemplazamos el [math]P+M (de (4)) por 25, nos quedará:
[math]36 = 25 + M \Rightarrow M = 11.

Ahora ya sabemos que [math]G = 6 y [math]M = 11. Como sabíamos que [math]31 = P + M + G, deducimos que [math]P = 14.

Finalmente, sólo resta checkear que los resultados que obtuvimos son correctos. Esto lo pueden hacer comprobando que estos tres números cumplen con TODAS las condiciones del problema, SIN DEJAR NINGUNA AFUERA.

[Martín Vacas Vignolo]

Acá va otra solución:

La idea va a ser mirar cuántos paquetes grandes (de [math]18 alfajores) podemos comprar. Como en total se compraron [math]288 alfajores, quiere decir que como mínimo se compró un paquete de [math]18 (ya que sino no se puede formar un número terminado en [math]8).

Al ver esto, como estamos seguros que uno de [math]18 compró sí o sí, quiero decir que le quedan para comprar [math][tex]\$1350-75=\$1275[/tex] entre [math]288-18=270 alfajores y [math]31-1=30 paquetes.

-Si no compró más paquetes de [math]18, quiere decir que esto de recién lo tiene que comprar entre paquetes de [math]10 y de [math]5. Si todos fuesen de [math]10, tendría [math]30\times10=300 alfajores, pero como tiene que tener [math]270, quiere decir que [math](300-270):5=6 son de [math]5, luego [math]30-6=24 son de [math]10. Pero miremos que la plata que gasta, no es [math][tex]\$1275[/tex] (pues [math][tex]24\times \$ 50 + 6\times \$ 25= 1200+150=1350[/tex]).

-Eso quiere decir que tuvo que haber comprado más de[math]1paquete de[math]18. ¿Cuántos más puede haber comprado?
Por ejemplo, si compró sólo [math]2 paquetes de [math]18 alfajores, tiene [math]36 alfajores con esos paquetes y tendría que llegar hasta [math]288 con paquetes de [math]5 o [math]10, que es imposible (porque los números terminarían en [math]6 o [math]1).
Si sólo compró [math]3 paquetes de [math]18 tendría [math]3\times18=54 alfajores con esos paquetes y, nuevamente, no podría llegar a [math]288 porque al sumarle cosas de [math]5 o [math]10, los números terminarían en [math]4 o [math]9.
Con [math]4 y [math]5 paquetes pasa lo mismo y llegamos a que podría tener [math]6 paquetes de [math]18.
O sea [math]6\times 18=108 alfajores y acá sí al sumarle cosas de [math]5 o [math]10podemos llegar a [math]288. Nos quedarían para sumar [math]288-108=180 alfajores y [math]31-6=25 paquetes, gastando [math][tex]\$1350 - 6 \times \$75 =\$1350- \$450 = \$900[/tex]. Si todos fuesen de [math]10 alfajores, tendríamos [math]10\times 25=250 alfajores, pero como necesitamos [math]180, quiere decir que [math](250-180):5=14 son de [math]5 y por lo tanto [math]25-14=11 son de [math]10. Fin

[Martín Vacas Vignolo]

Otra: (un poco más compleja que la anterior)

En el paquete pequeño y el mediano, cada alfajor cuesta [math][tex]\$5[/tex] y en el paquete grande cada alfajor cuesta menos de [math][tex]\$5[/tex] (aprox [math][tex]\$4,1666[/tex]). Si hubiésemos comprado [math]288 alfajores a [math]5, hubiésemos gastado [math][tex]288\times \$ 5 = \$1440[/tex], o sea que gastaríamos [math][tex]\$1440-\$1350 = \$90[/tex] de más. Y eso que pagaríamos de más, sería en los alfajores de los paquetes grandes. Por cada alfajor de los paquetes grandes pagaríamos de más [math][tex]\$5-\$4,1666=\$0,8334[/tex]. O sea que tendríamos que comprar [math][tex]\$90:\$0,8334=108[/tex] alfajores entre los paquetes grandes, y como cada uno trae [math]18, tendríamos que comprar [math]108:18=6 paquetes grandes.
Una vez que sabemos que hay [math]6 paquetes grandes ([math]108 alfajores), nos quedan para comprar [math]31-6=25 paquetes y [math]288-108=180 alfajores, y para gastar [math][tex]\$1350 - \$450 = \$900[/tex]. Y lo terminamos igual que en la solución anterior.

[Melanie]

Ahhh me re gustó la de congruencias módulo 5, muy buenaaaa. De hecho creo que voy a contar esa

[mercemoran]

para repartir al final del acto escolar se compraron 288 alfajores.
los alfajores vienen en paquetes de 3 tamaños:
un paquete chico contiene 5 alfajores y cuesta \$25
un paquete mediano contiene 10 alfajores y cuesta \$50
un paquete grande contiene 18 alfajores y cuesta \$75
en total se compraron 31 paquetes y se pagaron \$1350.
¿cuantos paquetes pequeños, cuantos medianos y cuantos grandes se compraron?

[mercemoran]

respuesta: 14 paquetes chicos, 11 medianos, y 6 grandes