Nacional Ñandú 2011- N3 P1

[Ivan]

Se prepara dulce que se envasa en frascos grandes de $900$g, en frascos pequeños de $450$g y en frascos individuales de $30$g. Al envasarlo se pierde el $10 \%$.
La cantidad de frascos pequeños es más de una vez y media y menos del doble de la cantidad de frascos grandes.
En frascos pequeños se envasa igual cantidad de kilos que en frascos individuales.
Los frascos grandes se venden a $\$25$ cada uno, los pequeños a $\$15$ cada uno y los individuales a $\$1,50$ cada uno. Se recaudan $\$ 625$.
¿Cuántos frascos de cada tamaño se envasan? ¿Cuántos kg de dulce se habían preparado?

[tuvie]

Que lindo recuerdo este problema, cuando lo leí en la prueba, fue un instinto decir "Vamos a probar".

[Ivan]

Llamo [math]P,G,I a las cantidades de frascos pequeños, grandes e individuales respectivamente.

Veamos como traducir a ecuaciones el enunciado:

• La cantidad de frascos pequeños es más de una vez y media y menos del doble de la cantidad de frascos grandes.

  Esto quiere decir que [math]2G>P>\frac{3}{2}G.

• En frascos pequeños se envasa igual cantidad de kilos que en frascos individuales.

  Esto quiere decir que [math]450P=30I y simplificando [math]15P=I.

• Los frascos grandes se venden a \$25 cada uno, los pequeños a \$15 cada uno y los individuales a \$1,50 cada uno. Se recaudan \$ 625.

  Esto nos dice que [math]25G+15P+\frac{3}{2}I=625.

En [math]25G+15P+\frac{3}{2}I=625 reemplazamos [math]I por [math]15P y obtenemos [math]25G+15P+\frac{3}{2}\times 15P=625. Multiplicando por [math]2 para trabajar con enteros tenemos [math]50G+75P=1250.

Ahora vamos a usar [math]2G>P>\frac{3}{2}G. Multiplicando por [math]75 obtenemos [math]150 G>75 P>\frac{225}{2}G. Sumando [math]50G obtenemos [math]200G>50G+75P>\frac{325}{2}G. Entonces recordando que [math]50G+75P=1250 tenemos [math]200G > 1250 > \frac{325}{2}G.

• Como [math]200G>1250 tenemos [math]G>\frac{1250}{200}=6,25
• Como [math]\frac{325}{2}G<1250 tenemos [math]G<1250\times \frac{2}{325}=7,69\ldots

Como la cantidad de frascos grandes es un número natural y vimos que [math]6,25<G<7,69 la única posibilidad es [math]\fbox{G=7}.

Ahora volvemos a [math]50G+75P=1250 y usando [math]G=7 tenemos [math]350+75P=1250 y por lo tanto [math]\fbox{P=12}. Como [math]I=15P tenemos [math]\fbox{I=180}.

En total los frascos contienen [math]900\times G+450\times P + 30 \times I = 900\times 7+450\times 12+30 \times 180=17100 gramos. O sea [math]17,1 kg. Pero recordemos que el [math]10\% se perdió al envasar, entonces [math]17,1kg es el [math]90\% de lo que se preparó, o sea [math]\frac{9}{10}. Si llamamos [math]T al total que se preparó, tenemos [math]\frac{9}{10}T=17,1kg entonces [math]\fbox{T=19\text{kg}}.

[Pirógeno]

Se prepara dulce que se envasa en frascos grandes de 900 g, en frascos pequeños de 450 g y en frascos individuales de 30 g. Al envasarlo se pierde el 10%. La cantidad de frascos pequeños es más de una vez y media y menos del doble de la cantidad de frascos grandes.
En frascos pequeños se envasa igual cantidad de kilos que en frascos individuales.
Los frascos grandes se venden a \$25 cada uno, los pequeños a \$15 cada uno y los individuales a \$1,50
cada uno. Se recaudan \$625.
¿Cuántos frascos de cada tamaño se envasan? ¿Cuántos kg de dulce se habían preparado?