OFO 2022 Problema 10

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Joacoini

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OFO 2022 Problema 10

Mensaje sin leer por Joacoini »

En el triángulo $ABC$ se marcan los puntos $D$ y $E$ en los lados $CA$ y $AB$, respectivamente, de manera tal que las rectas $BC$ y $DE$ sean paralelas. La recta $DE$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $F$ y $G$, con $D$ entre $F$ y $E$. Las rectas $FC$ y $GB$ se cortan en el punto $P$, y las circunferencias circunscritas de los triángulos $FEP$ y $GDP$ se cortan por segunda vez en el punto $Q$.
Demostrar que los puntos $A$, $P$ y $Q$ están alineados.

Aclaración: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la circunferencia que pasa por los vértices del mismo.
NO HAY ANÁLISIS.
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Joacoini

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Re: OFO 2022 Problema 10

Mensaje sin leer por Joacoini »

Aquí publicaremos la solución oficial.
NO HAY ANÁLISIS.
Fedex

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Re: OFO 2022 Problema 10

Mensaje sin leer por Fedex »

Spoiler: mostrar
Sea $J = (BCP) \cap AP$ y sea $Q’$ tal que una homotecia con centro en $A$ lleva a $\triangle BJC$ a $\triangle DQ’E$.
Como $J$ está en la recta $AP$ y la homotecia deja a $Q’$ sobre la recta $AJ$, $Q’$ está sobre la recta $AP$.
Ahora vamos a ver que $Q’ \equiv Q$.
Por la condición de las paralelas, $FGCB$ es un trapecio isóceles, ahora:
$$ \angle DGP = \angle FGP = \angle BCP = \angle BJP = \angle DQ’P $$
Luego $DQ’GP$ es cíclico.
Análogamente $EQ’FP$ es cíclico.
Luego $Q’ = (PEF) \cap (PDG) = Q$ y estamos.
This homie really did 1 at P6 and dipped.
Juaco

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Re: OFO 2022 Problema 10

Mensaje sin leer por Juaco »

Una pista nomas, aunque casi que resuelve el problema
Spoiler: mostrar
miren bien los triángulos $\triangle EQD$ y $\triangle PBC$
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
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