APMO 2021 Problema 4

[Juaco]

Dado un tablero de $32\times 32$ colocamos un ratón (mirando hacia arriba) en la celda inferior izquierda y un trozo de queso en varias otras celdas. El ratón comienza a moverse. Avanza hacia adelante excepto que cuando llega a un trozo de queso, se come una parte, gira hacia la derecha, y sigue avanzando. Decimos que un subconjunto de celdas que contienen queso es bueno si, durante este proceso, el ratón prueba cada trozo de queso exactamente una vez y luego se sale del tablero. Demostrar que:

$\text{(a)}$ Ningún subconjunto bueno consta de $888$ celdas.

$\text{(b)}$ Existe un subconjunto bueno que consta de al menos $666$ celdas.