Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P1

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Fedex

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Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P1

Mensaje sin leer por Fedex »

Diremos que una circunferencia corta a un rectángulo de modo apropiado si corta a cada lado del cuadrilátero en dos puntos interiores distintos. Determinar si para cada cuadrilátero convexo existe por lo menos una circunferencia que lo corta de modo apropiado.

$4 \; PUNTOS$
This homie really did 1 at P6 and dipped.
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Fran5

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Re: Torneo internacional de las ciudades Otoño 2020: Nivel Juvenil P1

Mensaje sin leer por Fran5 »

Idea (casi solución)
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Sea $O$ el centro de nuestra circunferencia (si es que existe).

Lema: Para cada lado $AB$ del cuadrilátero, $O$ está en la región determinada por el lado $AB$, la perpendicular a $AB$ por $A$, la perpendicular a $AB$ por $B$, y que además contiene a los puntos $C$ y $D$
Spoiler: mostrar
La demo del lema es directa: Si $P,Q$ son los puntos de intersección en $A,B$ y $M$ es el punto medio de $PQ$, entonces $A,P,M,Q,B$ están en ese orden
Por el lema, podemos construir un contraejemplo: Necesitamos que la región que determina el segmento $CD$ (por nuestro lema) no tenga puntos interiores en común con el triángulo $ABC$. Esto es fácil de construir
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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