Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 7)

[Dauphineg]

Sea $M$ el conjunto de los puntos de coordenadas enteras del plano.
Para cada punto $P=\left ( x,y \right )\in M$ llamamos vecinos de $P$ a los puntos $\left ( x-1,y \right ),\left ( x+1,y \right ),\left ( x,y-1 \right ),\left ( x,y+1 \right )$.
Sea $S$ un subconjunto finito de $M$. Una función biyectiva $f: S \rightarrow S$ se dirá perfecta si $f(P)$ es vecino de $P$ para todo $P\in S$
Demostrar que si tal función existe, entonces también existe una función perfecta $g: S \rightarrow S$ con la propiedad adicional de
que $g(g(P))=P$ para todo $P\in S$.

[MateoCV]

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Pintemos los puntos de $S$ de blanco y negro, de forma que un punto $(x,y)$ es blanco si $x+y$ es par y negro si $x+y$ es impar. Como $f$ es biyectiva, tiene inversa $f^{-1}$. Observemos que si $P$ es de un color, entonces $f(P)$ y $f^{-1}(P)$ son ambos del otro color y vecinos de $P$. Definimos $g$ por:
$$g(P)=\begin{cases}f(P)& \text{ para }P\text{ blanco} \\ f^{-1}(P) & \text{ para }P\text{ negro}\end{cases}$$
Si $P$ es blanco, $g(g(P))=g(f(P))=f^{-1}(f(P))=P$
Si $P$ es negro, $g(g(P))=g(f^{-1}(P))=f(f^{-1}(P))=P$

Por lo tanto $g(g(P))=P$ para todo $P$ en $S$, y ademas $g$ es biyectiva porque tiene inversa (ella misma)