OMEO 2020 NB P1

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Tomás Morcos Porras
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Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Vie 07 Feb, 2020 5:04 pm

Sea $ABC$ un triángulo, y $D$ el pie de la altura desde $A$, tal que $BC=8$ y $AD=6$.
Sea $M$ el punto medio de $BD$ y $N$ el punto medio de $AC$.
Calcular $MN$.
Puede que no me reconozcas, pero a lo mejor te suene la cara de un joven que creyó encontrar un ciclo hamiltoniano en el grafo de Petersen, y no satisfecho con creerlo corroborado, subió a un escenario a intentar demostrarlo. Ese soy yo 8-)

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Monazo

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Re: OMEO 2020 NB P1

Mensaje sin leer por Monazo » Sab 08 Feb, 2020 12:34 am

Solución 1:
Spoiler: mostrar
Sea $H$ el pie de la altura del triángulo $NDC$ que pasa por $N$. Luego $NH \parallel AD$ y como $N$ es punto medio de $AC$ entonces $HN$ es base media del triángulo $ADC$.
Como $HN$ es base media, tenemos que $HN=\frac{AD}{2}=3$.
Por mediana correspondiente a hipotenusa, obtenemos que $AN=NC=DN$.
Sea $BM=x$. Luego, $MD=x$ , $DC=8-2x$ , $DH=\frac{DC}{2}=4-x \ $ (notemos que $DNC$ es isósceles por lo tanto $HN$ es mediatriz también). Por lo que $MH=x+4-x=4$.
Por Pitágoras tenemos que ${MN}^2={MH}^2+{HN}^2=4^2+3^2=25\ $.
Por lo que $MN=5$ y estamos.
Solución 2:
Spoiler: mostrar
La vi después y no puedo no subirla.

Sea $A'$ el simétrico de $A$ respecto de $M$. Dado que $M$ es punto medio de $BD$ y $AA'$. entonces $ADA'B$ es un paralelogramo. (Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio).
Por alternos internos, tenemos que $\angle ADB=\angle DBA'=90\ $ . Obtenemos así que $BA'C$ es un triángulo rectángulo en $B$.
Por Pitágoras obtenemos que ${A'C}^2={BA'}^2+{BC}^2=6^2+8^2=100\ \ $ . Luego $A'C=10$.
Como $M$ es punto medio de $AA'$ y $N$ es punto medio de $AC$, obtenemos que $MN$ es base media de $AA'C$.
Es por eso que finalmente, $MN=\frac{A'C}{2}=5$.
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NicoRicci
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Re: OMEO 2020 NB P1

Mensaje sin leer por NicoRicci » Lun 10 Feb, 2020 4:57 pm

Una solución muy simple
Spoiler: mostrar
Sea $P$ el punto medio de $AB$. Tenemos: $MP$ base media de $ABD$, $AD \parallel MP$, $MP = \frac{AD}{2} = 3$ y $NP$ base media de $ABC$, $BC \parallel NP$, $NP = \frac{BC}{2} = 4$.
Como $AD \perp BC$ al ser $AD$ la altura correspondiente al punto $A$, luego $MP \perp NP$, y por la regla de Gougu (a.k.a teorema de Pitágoras)$$MN=\sqrt{\left (MP^2+NP^2\right )}=\sqrt{(16+9)}=5$$
Pd.: ¡Muy piola la solución nro. 2!
La prepotencia de creer en la evidencia que te sirven desde arriba no es empírico, es demencia, ¿Me explico?

El Apache yasabes
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Re: OMEO 2020 NB P1

Mensaje sin leer por El Apache yasabes » Sab 15 Feb, 2020 1:17 pm

Tomo BM=MD=a entonces por Pitágoras se sabe que AB²=4a²+36 y AN²=NC²=a²-8a+25

luego por teorema de la mediana (en ABC) BN²=a²+8a+25 y (en ADC) DN²=a²-8a+25 y aplicando el mismo teorema en el triángulo BND se tiene que (BN²+DN²)/2=MN²+a² por lo que llegamos a que MN²=25 o sea que MN=5

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