OMEO 2020 NA P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Tomás Morcos Porras

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Mención-OFO 2020
Mensajes: 81
Registrado: Dom 13 Oct, 2019 5:04 pm
Medallas: 2
Nivel: 2
Ubicación: Córdoba, Córdoba

OMEO 2020 NA P1

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Vie 07 Feb, 2020 12:21 pm

Sea $ABCD$ un cuadrado y sea $P$ un punto en su interior. Se sabe que el área del triángulo $PAB$ es $10$, el área del triángulo $PBC$ es $30$, y el área del triángulo $PCD$ es $40$.
Hallar el valor del área del triángulo $PDA$.
¡Feliz cumpleaños a todos los que cumplen hoy y feliz no cumpleaños a todos los que no cumplen hoy!

Avatar de Usuario
Luli97

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Jurado-FOFO Pascua 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años
OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 93
Registrado: Mar 16 Abr, 2013 8:23 pm
Medallas: 14
Nivel: Exolímpico

Re: OMEO 2020 NA P1

Mensaje sin leer por Luli97 » Mié 08 Abr, 2020 4:30 pm

Spoiler: mostrar
Llamemos $l$ a la longitud del lado del cuadrado, por los datos del enunciado tenemos que $\frac{l \cdot h_1}{2}=10$, $\frac{l \cdot h_2}{2}=40$ y $\frac{l \cdot h_3}{2}=30$. Notemos que las alturas $h_1$ y $h_2$ son paralelas a los lados del cuadrado y la suma de ambas es $l$.
cuadrado.PNG
Entonces, las áreas de los triángulos $APB$ y $DCP$ suman $50$, pero al haber esta relación entre sus alturas, podemos juntarlas de la siguiente manera:
$$50= \frac{l \cdot h_1}{2} +\frac{l \cdot h_2}{2}=\frac{l \cdot h_1+l \cdot h_2}{2}=\frac{l \cdot (h_1+h_2)}{2}$$
Como dijimos que $h_1+h_2=l$, nos queda que $l^2=100$, es decir, el área del cuadrado es $100$. Solo queda restar:
$$Área(ADP)=100-10-40-30=20$$
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.

Responder