OFO 2020 Problema 1

tuvie

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OFO 2020 Problema 1

Mensaje sin leer por tuvie » Mié 22 Ene, 2020 12:04 am

Bruno escribe en el pizarrón una lista con todos los números primos entre $1$ y $2020$, ordenados de menor a mayor:$$2,~3,~5,~7,~11,~\ldots,~2011,~2017.$$Luego, Camila elige dos números en posiciones consecutivas de la lista de Bruno y los suma. ¿Es posible que el resultado que obtiene Camila al sumar estos dos números sea el doble de un número primo? Si la respuesta es sí, mostrar una manera de lograrlo; si es no, explicar por qué es imposible.

tuvie

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Re: OFO 2020 Problema 1

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 01 Feb, 2020 12:28 am

Solución Oficial:
Spoiler: mostrar
Respuesta: Cami no puede encontrar un primo de forma tal que el doble de su primo sea la suma de los primos de Bruno.

Vamos a probar de forma más general que si $p$ y $q$ son dos primos consecutivos, entonces $p+q$ no puede ser el doble de un número primo $r$. Observemos que si $p+q=2r$, entonces $\frac{p+q}{2}=r$, o sea, $r$ es el promedio entre $p$ y $q$. Como $p$ y $q$ son distintos, el promedio se debe situar entre ellos. Pero esto es una contradicción, ya que $p$ y $q$ eran primos consecutivos, y obtuvimos que $r$ debería ser un primo entre ellos. Luego Cami no puede lograr lo pedido.

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Sandy

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Re: OFO 2020 Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 01 Feb, 2020 12:41 am

Spoiler: mostrar
Digamos que $a_i$ es el $i-esimo$ primo de la lista.
Dado que la lista es creciente, $a_i>a_j$ implica que $i>j$ (y viceversa).

Supongamos que elige los dos primos consecutivos $a_i$ y $a_{i+1}$

Digamos que $a_i+a_{i+1}=2p$.

Sabemos que $a_i<a_{i+1}$, luego $2a_i<a_i+a_{i+1}<2a_{i+1}$.

Entonces tenemos que $2a_i<2p<2a_{i+1}$, y dividiendo todo por $2$, queda que $a_i<p<a_{i+1}$.

Por un lado tenemos que $p$, al ser menor que $a_{i+1}$ (que es un primo que está en la lista), debe estarlo.

Pero entre $a_i$ y $a_{i+1}$ no hay ningún primo en la lista (ya que son términos consecutivos), lo que implica que $p$ está o bien antes de $a_i$ o bien después de $a_{i+1}$.

En ambos casos ocurre que la lista NO está ordenada de menor a mayor, lo cual es una contradicción que provino de asumir que existían dos términos consecutivos cuya suma resultase en el doble de un número primo, por lo tanto es imposible elegir dichos términos.
NOTA 1: en "i-ésimo", mi "e" debería levar tilde pero no me reconoce el caracter ''é'' en LATEX
Última edición por Sandy el Sab 01 Feb, 2020 12:49 am, editado 1 vez en total.

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Matías V5

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Re: OFO 2020 Problema 1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 01 Feb, 2020 12:44 am

Sandy escribió:
Sab 01 Feb, 2020 12:41 am
NOTA 1: en "i-ésimo", mi "e" debería levar tilde pero no me reconoce el caracter ''é'' en LATEX
El ésimo se pone afuera de los \$, ya que no es una fórmula. $i$-ésimo.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Sandy

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Re: OFO 2020 Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 01 Feb, 2020 12:45 am

Matías V5 escribió:
Sab 01 Feb, 2020 12:44 am
Sandy escribió:
Sab 01 Feb, 2020 12:41 am
NOTA 1: en "i-ésimo", mi "e" debería levar tilde pero no me reconoce el caracter ''é'' en LATEX
El ésimo se pone afuera de los \$, ya que no es una fórmula. $i$-ésimo.
Oooohh muy buen punto y buena idea. La voy a aplicar ahora mismo por $1$-ésima vez
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