OFO 2020 Problema 3

jujumas

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OFO 2020 Problema 3

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 22 Ene, 2020 12:03 am

En el tablero de la figura, Joaco debe escribir $9$ enteros positivos distintos, uno en cada casilla, ordenados de menor a mayor (de izquierda a derecha), de manera que la suma de todos los números del tablero sea exactamente $2020$. ¿Cómo puede completar Joaco el tablero para que los números de las casillas sombreadas sumen lo menos posible? Mostrar un ejemplo para dicha cantidad, y explicar por qué no se puede obtener una suma menor.
p3ofo2020.png
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Re: OFO 2020 Problema 3

Mensaje sin leer por jujumas » Sab 01 Feb, 2020 12:27 am

Solución oficial:
Spoiler: mostrar
Sean $c_1 < c_2 < c_3 < c_4 < c_5 < c_6 < c_7 < c_8 < c_9$ los $9$ enteros positivos que se escriben en las casillas del tablero, en orden de izquierda a derecha. Notemos que la suma de las casillas sombreadas es $c_3 + c_6 + c_9$.

Sabemos que, como los números son enteros distintos, la diferencia entre dos enteros en posiciones consecutivas es al menos $1$, por lo que:
$$c_2 \leq c_3 - 1, \space \space \space c_5 \leq c_6 - 1, \space \space \space c_8 \leq c_9 - 1.$$
$$c_1 \leq c_2 - 1 \leq c_3 - 2, \space \space \space c_4 \leq c_5 - 1 \leq c_6 - 2, \space \space \space c_7 \leq c_8 - 1 \leq c_9 - 2.$$

Sumando estas seis desigualdades, y sumando luego $c_3 + c_6 + c_9$ a ambos lados, obtenemos:
$$c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5 + c_6 + c_7 + c_8 + c_9 \leq (c_3 - 2) + (c_3 - 1) + c_3 + (c_6 - 2) + (c_6 - 1) + c_6 + (c_9 - 2) + (c_9 - 1) + c_9,$$

y como el lado izquierdo vale $2020$ por enunciado, tenemos:
$$2020 \leq 3c_3 - 3 + 3c_6 - 3 + 3c_9 - 3.$$

Sumando $9$ a ambos lados y dividiendo ambos lados por $3$, tenemos entonces que:
$$\frac {2029}{3} \leq c_3 + c_6 + c_9.$$

Como $c_3$, $c_6$ y $c_9$ son enteros positivos, su suma es un entero positivo mayor o igual a $\frac {2029}{3}$. Como $\frac {2029}{3}$ no es entero, el menor valor que podría tomar la suma $c_3 + c_6 + c_9$ es el primer entero mayor a $\frac {2029}{3}$, que resulta ser $677$.

Para terminar la solución, nos falta entonces mostrar que $677$ es un valor alcanzable, es decir, que existe una forma de asignarle valores a las casillas del tablero de modo que se cumplan todas las condiciones del enunciado y la suma de las casillas sombreadas sea exactamente $677$.

Hay muuuchas formas de hacer esto último. Acá van un par de formas:

$\bullet$ $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $665$, $666$, $668$.

$\bullet$ $220$, $221$, $222$, $223$, $224$, $225$, $227$, $228$, $230$.

$\bullet$ $67$, $68$, $69$, $185$, $186$, $188$, $418$, $419$, $420$.
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Joacoini

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Re: OFO 2020 Problema 3

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 01 Feb, 2020 12:35 am

Me emociona el enunciado
Spoiler: mostrar
Llamo $a_1<a_2<...<a_9$ a los números.

Como son enteros se cumple que

$a_1+2\leq a_3$, $a_2+1\leq a_3$
$a_4+2\leq a_6$, $a_5+1\leq a_6$
$a_7+2\leq a_9$, $a_8+1\leq a_9$

Sumando las desigualdades y agregando $a_3+a_6+a_9$ a ambos lados.

$a_1+a_2+a_3+...+a_9+9=2029\leq 3(a_3+a_6+a_9)\Rightarrow \frac{2029}{3}\leq a_3+a_6+a_9$

Por lo que el menor valor que puedo obtener para $a_3+a_6+a_9$ es $677$.

El ejemplo que puedo usar es el siguiente.

$220+221+222+223+224+225+227+228+230=2020$
$222+225+230=677$
NO HAY ANÁLISIS.

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Sandy

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Re: OFO 2020 Problema 3

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 01 Feb, 2020 12:47 am

Spoiler: mostrar
Digamos que, de izquierda a derecha, los enteros son $a_1<a_2<a_3<...<a_9$.
Sabemos que $a_n\leq a_{n+1}-1$ para $1\leq n\leq 8$.

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9=2020$

$(a_1+a_4+a_7)+(a_2+a_5+a_8)+(a_3+a_6+a_9)=2020$

$2020=(a_1+a_4+a_7)+(a_2+a_5+a_8)+(a_3+a_6+a_9)\leq (a_2-1+a_5-1+a_8-1)+(a_3-1+a_6-1+a_9-1)+(a_3+a_6+a_9)\leq (a_3-1-1+a_6-1-1+a_9-1-1)+(a_3-1+a_6-1+a_9-1)+(a_3+a_6+a_9)=3\times (a_3+a_6+a_9)-9$

$\Rightarrow 2020\leq 3\times (a_3+a_6+a_9)-9 \Rightarrow \frac{2020+9}{3} \leq (a_3+a_6+a_9) \Rightarrow 677 \leq (a_3+a_6+a_9)$

Y esto es conseguible completando el tablero con los números $220, 221, 222, 223, 224, 226, 227, 228, 229$, con $222+226+229=677$.

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Tomás Morcos Porras
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Re: OFO 2020 Problema 3

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Sab 01 Feb, 2020 2:17 am

Spoiler: mostrar
Para propósitos de la explicación, llamo $S$ a la suma de valores de casillas a la que se aspira.
Tengamos una fila de tres casillas tal que solo la última está sombreada. Si queremos repartir $S\equiv k \pmod 3$ y que la casilla sombreada tenga el menor valor posible, los números van a ser $\lfloor \frac{S}{3}\rfloor -1$, $\lfloor \frac{S}{3}\rfloor$, y $\lfloor \frac{S}{3}\rfloor+1+k$.
Agreguemos ahora una casilla sombreada más a la izquierda del todo. Para que se dé que las casillas sombreadas suman lo mismo, tenemos que necesariamente la primera va a valer $1$ y las tres últimas se van a repartir de acuerdo a $\lfloor \frac{S-1}{3}\rfloor$ en vez de $\lfloor \frac{S}{3}\rfloor$.
Agreguemos una casilla sin sombrear más. Vemos que para que la primera sombreada sea lo más baja posible, la primera blanca tiene que ser $1$ y la primera sombreada $2$, y así los valores de las últimas casillas ajustarse a $\lfloor \frac{S-3}{3}\rfloor$.
Extrapolando, para las $9$ casillas del enunciado con $S=2020$, la mejor disposición posible es $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $665$, $666$, y $668$, para una suma de $3+6+668=677$ para las casillas sombreadas.
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Puede que no me reconozcas, pero a lo mejor te suene la cara de un joven que creyó encontrar un ciclo hamiltoniano en el grafo de Petersen, y no satisfecho con creerlo corroborado, subió a un escenario a intentar demostrarlo. Ese soy yo 8-)

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