OFO 2020 Problema 12

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
tuvie

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OFO 2020 Problema 12

Mensaje sin leer por tuvie » Mar 21 Ene, 2020 11:57 pm

Determinar todas las cuaternas $(a,b,c,d)$ de números reales positivos distintos que verifican $abcd=1$ y $a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ simultáneamente.

tuvie

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Re: OFO 2020 Problema 12

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 01 Feb, 2020 12:20 am

Solución oficial:
Spoiler: mostrar
Respuesta: Las únicas soluciones que funcionan son de la forma $\left (x,y,\frac{1}{y},\frac{1}{x}\right )$ con $x>y>1,$ y todas sus permutaciones.


En efecto, supongamos sin perdida de generalidad que $a>b>c>d>0$. Notemos que como $abcd=1$ entonces
$$a+b+c+d=\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}=bcd+acd+abd+abc.$$
Sea $p$ dicho valor, y definimos $q=ab+bc+cd+da+ac+bd$.

Consideremos el polinomio $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).$ Con lo que ya vimos, no es difícil ver que al desarrollarlo obtenemos
$$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4-px^3+qx^2-px+1.$$

Utilizando nuevamente que $abcd=1$, tenemos que $p=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{bcd}+\frac{1}{acd}+\frac{1}{abd}+\frac{1}{abc}$ y ademas $q=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bd}.$

Consideremos ahora el polinomio $g(x)=\left (x-\frac{1}{a}\right )\left (x-\frac{1}{b}\right )\left (x-\frac{1}{c}\right )\left (x-\frac{1}{d}\right )$. Utilizando las observaciones previas, y desarrollando el polinomio, obtenemos que
$$\left (x-\frac{1}{a}\right )\left (x-\frac{1}{b}\right )\left (x-\frac{1}{c}\right )\left (x-\frac{1}{d}\right )= x^4-px^3+qx^2-px+1.$$

Esto quiere decir que $f(x)=g(x)$, por lo que sus raíces deben ser las mismas. Pero las raíces de $f$ son, en orden creciente, $d,c,b,a$ y las de $g$ son $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c},\frac{1}{d}$ al ser todas ellas positivas. Podemos concluir entonces que $d=\frac{1}{a}$ y que $c=\frac{1}{b}$.

Hemos probado entonces que si una cuaterna satisface las condiciones del enunciado, entonces debe ser de la pinta que propusimos. Por otra parte, no es difícil corroborar que toda solución que propusimos satisface las condiciones del enunciado. Concluimos entonces que esas son todas.
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Joacoini

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Re: OFO 2020 Problema 12

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 01 Feb, 2020 12:29 am

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Sean $x$, $y$, $z$ y $w$ reales tales que

$a=\frac{x}{y}$, $b=\frac{y}{z}$, $c=\frac{z}{w}$ y $d=\frac{w}{x}$.

Tomando $x$ distinto de $0$, $y$ tal que se cumpla la primera condición, $z$ para que se cumpla la segunda y $w$ tal que cumpla la tercera entonces se cumple la cuarta ya que $abcd=1$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{w}+\frac{w}{x}=\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{w}{z}+\frac{x}{w}$


$x^2zw+y^2wx+z^2xy+w^2yz=y^2zw+z^2wx+w^2xy+x^2yz$


$ x^2z(w-y)+y^2w(x-z)+z^2x(y-w)+w^2y(z-x)=0$


$(w-y)(x^2z-z^2x)+(x-z)(y^2w-w^2y)=0$


$xz(w-y)(x-z)-yw(x-z)(w-y)=0$


$(x-z)(w-y)(xz-yw)=0$

Si $x=z$ entonces $ab=1$ y $cd=1$ lo que nos da de solución las cuaternas de la forma $(a,\frac{1}{a},c,\frac{1}{c})$.
Teniendo en cuenta que los elementos son distintos $a\neq c$, $a\neq \frac{1}{c}$, $a\neq 1$ y $c\neq 1$.

Si $y=w$ entonces $ad=1$ y $cb=1$ lo que nos da de solución las cuaternas de la forma $(a,\frac{1}{c},c,\frac{1}{a})$.
Teniendo en cuenta que los elementos son distintos $a\neq c$, $a\neq \frac{1}{c}$, $a\neq 1$ y $c\neq 1$.

Si $xz=yw$ entonces $ac=1$ y $bd=1$ lo que nos da de solución las cuaternas de la forma $(a,b,\frac{1}{a},\frac{1}{b})$.
Teniendo en cuenta que los elementos son distintos $a\neq b$, $a\neq \frac{1}{b}$, $a\neq 1$ y $b\neq 1$.
Última edición por Joacoini el Sab 01 Feb, 2020 12:44 am, editado 1 vez en total.
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NPCPepe

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Re: OFO 2020 Problema 12

Mensaje sin leer por NPCPepe » Sab 01 Feb, 2020 12:38 am

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Si se sabe que $1/a+1/b+1/c+1/d=a+b+c+d$:
$d-1/d=1/a+1/b+1/c-a-b-c=n$ ($n$ es una variable inventada para no escribir tanto)
$d-1/d-n=0$
$d^2-1-nd=0$
por funcion cuadrática:
$d=\frac{n \pm{\sqrt{n^2+4}}}{2}$
y por el enunciado de que abcd=1:
$d=\frac{n \pm{\sqrt{n^2+4}}}{2}+\frac{1}{abc}=0$
$\sqrt{n^2+4}>n$ por mas que n sea positivo o negativo, y $\frac{1}{abc}$ es positivo ya que $a$, $b$, y $c$ son positivos.

entonces: $d=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}+\frac{1}{abc}=0$ (no puede tener el signo $-$ en donde estaba el $\pm$

ahora supongamos que $a$ y $b$ estan fijos y variamos $c$ para ver los valores que $c$ puede tomar para determinado $a$ y $b$, lo que quiero ver es el grado del polinomio con variable $c$ y $a$, $b$ constantes
para esto voy a reemplazar $ab$ por $q$ y $1/a+1/b-a-b$ por $k$ para escribir menos total no nos interesan estos valores si no el exponente de $c$ en la factorización del polinomio de arriba.

$d=\frac{1/a+1/b+1/c-a-b-c+\sqrt{(1/a+1/b+1/c-a-b-c)^2+4}}{2}+\frac{1}{abc}=0$
$\sqrt{(k+1/c-c)^2+4)}=2/(qc)-k-1/c+c$

$k^2+(1/c)*k-ck+(1/c)k+1/c^2-1-ck-1+c^2+4=(4/(q^2*c^2))-(2k/(qc))-(2/qc^2)+(2/q)-(2k/qc)+k^2+k/c-kc-2/qc^2+k/c+1/c^2-1+2/q-ck-1+c^2$

entonces podemos cancelar los dos terminos $+c^2$ que hay a los dos lados del igual, y los cuatro terminos (-kc) que hay dos a un lado y dos al otro, entonces c queda elevado a la potencia 0 (como constante), a la -2 (como $1/c^2$) y a la $-1$ (como 1/c) asi que este es un polinomio de grado 2 por lo que c puede tomar 2 valores distintos para cada a y b.

ahora voy a comprobar que $c$ puede ser $1/a$ y $1/b$, como $a$, $b$, y $c$ son intercambiables voy a demostrar que b puede ser $1/a$ y esto debería demostrarlo ya que podemos intercambiar $b$ por $c$ y quedaría $c=1/a$ y $c=1/b$

entonces $\frac{1/a+1/b+1/c-a-b-c+\sqrt{(1/a+1/b+1/c-a-b-c)^2+4}}{2}+\frac{1}{abc}=0$
$d=\frac{1/c-c+\sqrt{(1/c-c)^2+4}}{2}+\frac{1}{c}=0$
$\sqrt{1/c^2+2+c^2}=2/c-1/c+c=1/c+c$
$1/c^2+2+c^2=1/c^2+2+c^2$
finalmente para calcular $d$ podemos usar la propiedad de que $abcd=1$ y si $b=1/a$, $d=1/abc=1/c$, es decir todas las soluciones tienen la forma $x$, $y$ , $1/x$, $1/y$ donde $x$, $y$ son reales positivos y cada uno de estos cuatro valores puede ser $a$, $b$, $c$ o $d$ (uno para cada uno).
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$

BrunZo

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Re: OFO 2020 Problema 12

Mensaje sin leer por BrunZo » Sab 01 Feb, 2020 1:00 am

Que velocidad...
Spoiler: mostrar
$$a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$$
$$a+b+c+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+abc$$
$$abc-a-b-c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}=0$$
$$a^2b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2+bc+ac+ab-1=0$$
$$(ab-1)(ac-1)(bc-1)=0$$
Entonces, sin pérdida de generalidad, digamos que $ab=1$. En ese caso, $cd=1$, lo que da la solución $(a,\frac{1}{a},b,\frac{1}{b})$, que obviamente funciona. Análogamente, obtenemos que las permutaciones de esto también son soluciones posibles y válidas.
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Gianni De Rico

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Re: OFO 2020 Problema 12

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 09 Feb, 2020 7:02 pm

Un poco de motivación:
Spoiler: mostrar
Queremos que dos sumas de $4$ términos sean iguales, así que tiene sentido tratar de que cada uno de los términos de un lado sea igual a uno de los términos del otro lado. Veamos cómo nos va con esto.

Si $a=\frac{1}{a}$, entonces $a^2=1$, por lo que $a=1$, y eso no nos sirve de mucho porque nos queda casi el mismo problema.

Ahora ¿Qué pasa si $a=\frac{1}{b}$?
En este caso, tenemos que $b=\frac{1}{a}$ y que $ab=1$, entonces nos queda que $cd=1$, por lo que $c=\frac{1}{d}$ y $d=\frac{1}{c}$, y funciona todo perfecto. De la misma forma, funciona si $a=\frac{1}{c}$ o $a=\frac{1}{d}$. Esto ya es bastante fuerte como para sospechar que todas las soluciones tienen esta forma, pero además, si probamos con valores de $a,b,c$ que no verifiquen nada de lo que dijimos (o sea, $ab\neq 1$, $bc\neq 1$, $ca\neq 1$), vemos que el valor de $d$ que necesitamos para que $abcd=1$ no es solución para $a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$. Bueno, esto sí, alcanza para convencernos de que las soluciones tienen que ser solamente las que dijimos.

La idea para probar esto es la siguiente: "Si $ab=1$ o $ac=1$ ya ganamos. Vamos a ver que si no pasa esto, entonces tiene que pasar que $ad=1$, y ganamos de nuevo."
Vamos a hacer varias cuentitas, tratando de modificar la ecuación $a+b+c+d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ aprovechando que $abcd=1$, y por sobre todas las cosas, que si $ab\neq 1$ y $ac\neq 1$, entonces hay muchos factores de la forma $1-\text{algo}$ que no son $0$, así que podemos pasarlos dividiendo.
Solución:
Spoiler: mostrar
Todas las soluciones son de la forma $\left (x,y,\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right )$, y todas sus permutaciones. Es claro que son soluciones, veamos que son las únicas.
Notemos que si $ab=1$, entonces $cd=1$, y es de la forma que propusimos, de la misma manera, si $ac=1$, la solución es de la forma que propusimos. Supongamos entonces que $ab\neq 1$, $ac\neq 1$, entonces $cd\neq 1$, $bd\neq 1$, es decir, $1-ab,1-ac,1-cd,1-bd$ son todos distintos de $0$.
Por lo tanto$$\begin{align*}a+b+c+d & =\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \\
a+b+c+d & =bcd+acd+abd+abc \\
a-acd+b-bcd+c-abc+d-abd & =0 \\
a(1-cd)+b(1-cd)+c(1-ab)+d(1-ab) & =0 \\
(a+b)(1-cd)+(c+d)(1-ab) & =0 \\
(a+b)(1-cd) & =(c+d)(ab-1) \\
\frac{a+b}{c+d} & =\frac{ab-1}{1-cd} \\
\frac{a+b+c+d}{c+d} & =\frac{ab-1+1-cd}{1-cd} \\
\frac{a+b+c+d}{c+d} & =\frac{ab-cd}{1-cd} \\
\frac{bcd+acd+abd+abc}{c+d} & =\frac{ab-cd}{1-cd} \\
\frac{ab(c+d)+cd(a+b)}{c+d} & =\frac{ab-cd}{1-cd} \\
\frac{cd(a+b)}{c+d} & =\frac{ab-cd}{1-cd}-ab \\
\frac{cd(a+b)}{c+d} & =\frac{ab-cd+abcd-ab}{1-cd} \\
\frac{cd(a+b)}{c+d} & =\frac{1-cd}{1-cd} \\
\frac{cd(a+b)}{c+d} & =1 \\
a+b & =\frac{c+d}{cd} \\
a+b & =\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \\
a+b & =abd+abc \\
a-abd+b-abc & =0 \\
a(1-bd)+b(1-ac) & =0 \\
a(1-bd) & =b(ac-1) \\
\frac{a}{b} & =\frac{ac-1}{1-bd} \\
\frac{a+b}{b} & =\frac{ac-1+1-bd}{1-bd} \\
\frac{a+b}{b} & =\frac{ac-bd}{1-bd} \\
\frac{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}{b} & =\frac{ac-bd}{1-bd} \\
\frac{c+d}{bcd} & =\frac{ac-bd}{1-bd} \\
a(c+d) & =\frac{ac-bd}{1-bd} \\
ac+ad & =\frac{ac-bd}{1-bd} \\
ad & =\frac{ac-bd}{1-bd}-ac \\
ad & =\frac{ac-bd+abcd-ac}{1-bd} \\
ad & =\frac{1-bd}{1-bd} \\
ad & =1 \\
\end{align*}$$entonces $bc=1$, así que la solución es de la forma que propusimos. Y con eso estamos.
Queda Elegantemente Demostrado

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