Se tiene un hexágono regular y un punto en su interior tal que las distancias desde ese punto a tres vértices consecutivos del hexágono valen $1$, $1$ y $2$ respectivamente. Determinar la longitud del lado del hexágono.
Sean $ABCDEF$ el hexágono y $P$ el punto del enunciado. Supongamos WLOG que $PA=PB=1$ y $PC=2$, además, $AB=x$. Sean $O$ el centro del hexágono y $M$ el punto medio de $AB$, entonces $OC=x$ y $OM=\frac{\sqrt{3}}{2}x$.
Como $PA=PB=1$ entonces $P$ está en la mediatriz de $AB$, de donde $O,P,M$ son colineales, y $\angle OPC=90^\circ$. Por Pitágoras en $\triangle OPC$ tenemos $$OP=\sqrt{PC^2-OC^2}=\sqrt{4-x^2}$$ luego $PM=OM-OP=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\sqrt{4-x^2}$.
Por Pitágoras en $\triangle PMA$ tenemos$$PM^2+AM^2=AP^2$$ es decir $$\left (\frac{\sqrt{3}}{2}x-\sqrt{4-x^2}\right )^2+\left (\frac{x}{2}\right )^2=1^2$$ luego $$\frac{3}{4}x^2-\sqrt{3(4x^2-x^4)}+4-x^2+\frac{x^2}{4}=1$$por lo que$$\sqrt{3(4x^2-x^4)}=3$$entonces$$3(4x^2-x^4)=9$$de donde$$x^4-4x^2+3=0$$poniendo $y=x^2$ obtenemos$$y^2-4y+3=0$$que tiene raíces $y=1$ e $y=3$, luego $x^2=1$ o $x^2=3$, de donde $x=1$ o $x=\sqrt{3}$ son las únicas soluciones posibles (pues $x\geq 0$ por ser el lado del hexágono).
Si $x=1$ entonces $ABP$ es equilátero, y como $P$ es interior a $ABCDEF$ resulta $P=O$, por lo que $1=x=PC=2$, absurdo pues $1\neq 2$. El absurdo proviene de suponer $x=1$, luego, $x\neq 1$.
Por lo tanto, $x=\sqrt{3}$ es la única solución posible, y para ver que es alcanzable basta considerar el caso en el que $A,P,C$ son colineales.
Si $ABCDEF$ es nuestra figura y $P$ el punto, WLOG $AP=2$, $BP=CP=1$, y por la simetría de la figura $DP=2$. Como en un hexágono regular su circundiametro es el doble del lado, tenemos que $APD$ y $BPC$ son semejantes con razón de semejanza $2$, ya que $AP=DP=2.1=2BP=2CP$ y si $BC=x$, $AD=2x$. Tenemos $\alpha= \angle PAD= \angle PDA= \angle PBC= \angle PCB$, de donde $\angle PBA= \angle PCD= 120- \alpha$ y $\angle PAB= \angle PDC= 60- \alpha$, concluímos entonces que $\angle BPC = \angle APD= 180-2\alpha$ y que $\angle APB= \angle CPD= 2\alpha$, por lo que $\angle DPB=180$ y $D, P, B$ están alineados. Como $AD$ es diámetro, $\angle ABD=90$, y como $AD=2AB$, tenemos que $ABD$ es un medio equilatero, y como $BD=3$ tenemos que $AB=\sqrt{3}$ $\blacksquare$
Última edición por Turko Arias el Jue 20 Jun, 2019 11:48 pm, editado 2 veces en total.
Sean $A\ B\ C$ los tres puntos consecutivos del hexágono. Sea $D$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $AB$. Ver que $DBC$ es medio equilátero y se cumple que $DC=2*DB=2*DA$.
Dato Importante
Tomate un triangulo equilatero $ABC$ y su baricentro $P$. Luego si pones $PM =PN = 1$ te queda $PA = PB = PC = 2$.
Por pitagoras, el lado $MN$ te queda $\sqrt{3}$