El cuadrado grande de la figura está dividido en nueve cuadrados pequeños e iguales. El lado del cuadrado grande vale $\ell$. Hallar, en función de $\ell$, cuánto vale el área sombreada.
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La idea es notar que el triángulito chiquito es semejante al más grande con razón $\frac{1}{6}$. Esto es, su área es $\frac{1}{6}^2\cdot\frac{1}{3}l^2=\frac{1}{108}l^2$. Y, después, notar que el área del cuadradito chiquito es $\frac{1}{9}l^2=\frac{12}{108}l^2$.
De este modo, el área deseada es $\frac{11}{108}l^2$
En el fondo el problema nos pide saber la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado, por lo que sin perdida de generalidad podemos asumir que el lado del cuadrado mide $9$ y cada unos de los lados de los cuadraditos chicos miden $3$.
Notamos que los triángulos $ABC$ y $CDE$ son semejantes, $\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$. Como $AB$ es $6$ concluimos que $DE$ es $4$, y como $DG=3$ entonces $EG=1$. Ya que $\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$ y $BC=9$ deducimos que $CD=6$.
Por otro lado tenemos que los triángulos $CDE$ y $EFG$ son semejantes, $\frac{CD}{FG}= \frac{DE}{EG}=\frac{1}{4}$. Como $CD=6$, deducimos que $FG=1,5$.
Ya que sabemos los lados del triangulo $EFG$, podemos concluir que el área del triangulo $EFG=0,75$. Como el lado de cada cuadradito chiquito mide $3$ el área de cada cuadradito es $9$. Entonces restamos el área del triangulo $EFG$ a el área del cuadradito, que nos da $8,25$. El área del cuadrado grande es $81$, entonces lo que hacemos es dividir el área sombreada por el área del cuadrado, lo que nos da $\frac{11}{108}$, por lo que el área sombreada es $\frac{11}{108}L^2$
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Si las coordenadas de $A$ son $\left (\frac{\ell}{3},0\right )$ y las de $C$ son $(\ell ,\ell )$ entonces la recta $AC$ es $y=\frac{3}{2}x-\frac{\ell}{2}$. La recta $ED$ que pasa por la base inferior del cuadradito central es $y=\frac{\ell}{3}$ y la que pasa por la base superior es $y=\frac{2}{3}\ell$.
La coordenada de abscisas de $E$ se da con la intersección $\frac{3}{2}x-\frac{\ell}{2}=\frac{\ell}{3}$ ; $x=\frac{5}{9}\ell$.
El área sombreada es entonces$$\int \limits _\frac{\ell}{3}^{\frac{5}{9}\ell}\frac{2}{3}\ell -\frac{1}{3}\ell \,dx+\int \limits _{\frac{5}{9}\ell}^{\frac{2}{3}\ell}\frac{2}{3}\ell -\left (\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\ell \right )\,dx=\frac{11}{108}\ell ^2.$$
