Intercolegial 2019 N3 P3

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Luli97

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Intercolegial 2019 N3 P3

Mensaje sin leer por Luli97 » Jue 23 May, 2019 7:54 pm

El cuadrado grande de la figura está dividido en nueve cuadrados pequeños e iguales. El lado del cuadrado grande vale $\ell$. Hallar, en función de $\ell$, cuánto vale el área sombreada.
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MiliO
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Re: Intercolegial 2019 N3 P3

Mensaje sin leer por MiliO » Jue 23 May, 2019 8:30 pm

Me dio 11/108 l²
Última edición por MiliO el Jue 23 May, 2019 9:27 pm, editado 2 veces en total.
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Frichmond
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Re: Intercolegial 2019 N3 P3

Mensaje sin leer por Frichmond » Jue 23 May, 2019 8:55 pm

yo lo deje expresado como:

(1/3l . 1/3l)- ((1/6l . 1/9 l)/2)

bmth2001
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Re: Intercolegial 2019 N3 P3

Mensaje sin leer por bmth2001 » Jue 23 May, 2019 9:17 pm

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A mí me dio 11/108 l^2. Lo expresé así y como 1/9 l^2 - 1/108 l^2, que da lo mismo.

mmnn
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Re: Intercolegial 2019 N3 P3

Mensaje sin leer por mmnn » Jue 23 May, 2019 9:20 pm

Yo hice exactamente lo mismo

BrunZo

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Re: Intercolegial 2019 N3 P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Jue 23 May, 2019 10:17 pm

Solución:
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La idea es notar que el triángulito chiquito es semejante al más grande con razón $\frac{1}{6}$. Esto es, su área es $\frac{1}{6}^2\cdot\frac{1}{3}l^2=\frac{1}{108}l^2$. Y, después, notar que el área del cuadradito chiquito es $\frac{1}{9}l^2=\frac{12}{108}l^2$.
De este modo, el área deseada es $\frac{11}{108}l^2$
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1000i Elizalde

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Re: Intercolegial 2019 N3 P3

Mensaje sin leer por 1000i Elizalde » Jue 23 May, 2019 10:55 pm

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En el fondo el problema nos pide saber la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado, por lo que sin perdida de generalidad podemos asumir que el lado del cuadrado mide $9$ y cada unos de los lados de los cuadraditos chicos miden $3$.
Notamos que los triángulos $ABC$ y $CDE$ son semejantes, $\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$. Como $AB$ es $6$ concluimos que $DE$ es $4$, y como $DG=3$ entonces $EG=1$. Ya que $\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$ y $BC=9$ deducimos que $CD=6$.
Por otro lado tenemos que los triángulos $CDE$ y $EFG$ son semejantes, $\frac{CD}{FG}= \frac{DE}{EG}=\frac{1}{4}$. Como $CD=6$, deducimos que $FG=1,5$.
Ya que sabemos los lados del triangulo $EFG$, podemos concluir que el área del triangulo $EFG=0,75$. Como el lado de cada cuadradito chiquito mide $3$ el área de cada cuadradito es $9$. Entonces restamos el área del triangulo $EFG$ a el área del cuadradito, que nos da $8,25$. El área del cuadrado grande es $81$, entonces lo que hacemos es dividir el área sombreada por el área del cuadrado, lo que nos da $\frac{11}{108}$, por lo que el área sombreada es $\frac{11}{108}L^2$
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bruno
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Re: Intercolegial 2019 N3 P3

Mensaje sin leer por bruno » Sab 25 May, 2019 3:44 pm

El metodo prohibido:
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Imagen

Si las coordenadas de $A$ son $(1/3l;0)$ y las de $C$ son $(l;l)$ entonces la recta $AC$ es $y=3/2x-1/2l$. La recta ED que pasa por la base inferior del cuadradito central es $y=1/3l$ y la que pasa por la base superior es $y=2/3l$

La coordenada de abcisas de $E$ se da con la interseccion $3/2x-1/2l=1/3l$ ; $x=5/9l$.

El area sombreada es entonces:

$\int_{1/3l}^{5/9l} (2/3l)-(1/3l) dx + \int_{5/9l}^{2/3l} (2/3l)-(3/2x-1/2l) dx=11/108 *l^{2}$
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