Intercolegial 2019 N3 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Peznerd
Mensajes: 109
Registrado: Jue 07 Jul, 2016 1:04 pm
Nivel: 3
Contactar:

Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 26 May, 2019 5:08 pm

Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 10:13 pm
Joacoini escribió:
Jue 23 May, 2019 9:33 pm
No voy a escribir mi solución porque no me dan los caracteres pero voy a dar una aclaración.

Respecto al problema
Spoiler: mostrar
Que $a<b<c$ no quiere decir que $a-5<b-12<c-47$ por lo que no sabes con cual comienza la sucesión aritmética y no podes asumir que $b-12$ es el segundo termino para obtener luego que $b=105$
Respecto al puntaje
Spoiler: mostrar
Escasas personas separamos en casos así que supongo de que no descartan tu solución por asumir la desigualdad, yo no tengo nada que ver con el proceso de corrección y ni se cuales van a ser los criterios para la puntuación así que lo que escribo acá no es la pura verdad
Esquema de solución (considerando los casitos)
Spoiler: mostrar
Fijarse que en cualquier caso, el término del medio de la progresión aritmética vale $93$.
Llamando $r$ a la razón de la progresión geométrica resulta:
Si el término del medio es $A$, nos queda $A+rA+r^2A=343$.
Si el término del medio es $B$, nos queda $\frac{B}{r}+B+rB=343\Rightarrow B+rB+r^2B=343r$.
Si el término del medio es $C$, nos queda $\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r}+C=343\Rightarrow C+rC+r^2C=343r^2$.
En cada caso, conocés el valor de $A$, $B$ o $C$, entonces te queda una cuadrática en $r$, que podés despejar con la resolvente, y probás si alguno de los valores de $r$ es el que sirve, usando que ya conocés alguno de los valores de $A$, $B$ o $C$.
Creo que dentro de todo es una solución a la que le dan los caracteres para ser posteada.
Oh, perdón, entendí otra cosa.
Entonces no entendí cómo llegaste al razonamiento que destaqué en negrita arriba...
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

Peznerd
Mensajes: 109
Registrado: Jue 07 Jul, 2016 1:04 pm
Nivel: 3
Contactar:

Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 26 May, 2019 5:21 pm

bruno escribió:
Sab 25 May, 2019 3:11 pm
Spoiler: mostrar
Sea $x$ la cantidad de caramelos de Alex, entonces la cantidad de Bruno seria $xq$ y la cantidad de Carlos son $xq^{2}$. Donde $q$ es la razon de la P.G; la razon tiene que ser un numero positvo racional porque si no $xq$ seria negativo y tiene que ser mayor a $1$ para que la cantidad de caramelos vaya en aumento como dice el enunciado.

La cantidad de caramelos es $x+xq+xq^{2}=343$ . Entonces $x(1+q+q^{2})=343$ (*)

Ahora si cada uno se come los caramelos que dice el enunciado; Alex se queda con $x-5$; Bruno con $xq-12$ y Carlos con $xq^{2}-47$. Si esos numeros estan en P.A entonces la cantidad de caramelos de Bruno menos los de Alex es igual a la cantidad de caramelos de Carlos menos los de Bruno (me daria la razon de la P.A).Entonces

$(xq-12)-(x-5)=(xq^{2}-47)-(xq-12)$
$xq-x-7=xq^{2}-xq-35$
$28=xq^{2}-2xq+x$
$28=x(q^{2}-2q+1)$ (**)

Como se que $x$ no es $0$ entonces puedo dividir (*) entre (**) y obtengo una ecuacion en funcion de $q$

$\frac{q^{2}+q+1}{q^{2}-2q+1}=\frac{343}{28}$

$28q^{2}+28q+28=343q^{2}-686q+343$
$0=315q^{2}-714q+315$

Aplico la resolvente en esa ecuacion y obtengo los valores $q=\frac{5}{3}$ o $q=\frac{3}{5}$. Pero el segundo lo descarto pues es menor a $1$ entonces $q=\frac{5}{3}$

Despejo $x$ en la ecuacion (*) reemplazando $q$; $x=63$

Entonces Alex tenia $63$ caramelos, Bruno $105$ y Carlos $175$.
Despues de comer Alex tiene $58$, Bruno $93$ y Carlos $128$. Los numeros estan en P.A de razon $35$ como se pide
Spoiler: mostrar
Ojo, supusiste que $A-5<B-12<C-47$ tal que $A$ se la cantidad de caramelos inicial de Alex, $B$ la de Bruno y $C$ la de Carlos y eso no es necesariamente cierto. Buena resolución
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020
COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 1293
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Intercolegial 2019 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 26 May, 2019 5:36 pm

Peznerd escribió:
Dom 26 May, 2019 5:08 pm
Gianni De Rico escribió:
Jue 23 May, 2019 10:13 pm
Spoiler: mostrar
Fijarse que en cualquier caso, el término del medio de la progresión aritmética vale $93$.
Llamando $r$ a la razón de la progresión geométrica resulta:
Si el término del medio es $A$, nos queda $A+rA+r^2A=343$.
Si el término del medio es $B$, nos queda $\frac{B}{r}+B+rB=343\Rightarrow B+rB+r^2B=343r$.
Si el término del medio es $C$, nos queda $\frac{C}{r^2}+\frac{C}{r}+C=343\Rightarrow C+rC+r^2C=343r^2$.
Oh, perdón, entendí otra cosa.
Entonces no entendí cómo llegaste al razonamiento que destaqué en negrita arriba...
Spoiler: mostrar
Con "el término del medio", me refiero al de la progresión aritmética. Entonces nos queda algo así:
Si $x<y<z$ están en progresión aritmética, vale que $z=y+d$ y que $y=x+d$, donde $d$ es la diferencia de la progresión. Entonces $x=y-d$, por lo que $x+y+z=(y-d)+y+(y+d)=3y\Rightarrow y=\frac{x+y+z}{3}$.
Usando esto en el problem obtenemos que si $A-3$ es el término del medio entonces $A-3=93\Rightarrow A=96$, si $B-12$ es el término del medio entonces $B-12=93\Rightarrow B=105$, y si $C-47$ es el término del medio entonces $C-47=93\Rightarrow C=140$.
Pero como $A$, $B$ y $C$ están en progresión geométrica (y $A<B<C$), tenemos que $C=rB$ y que $B=rA$, donde $r$ es la razón de la progresión. Entonces podemos escribir cada variable en función de las otras:
Escribiendo todo en función de $A$ tenemos $A=A$, $B=rA$, $C=rB=r^2A$.
Escribiendo todo en función de $B$ tenemos $A=\frac{B}{r}$, $B=B$, $C=rB$.
Escribiendo todo en función de $C$ tenemos $A=\frac{C}{r^2}$, $B=\frac{C}{r}$, $C=C$.

Entonces según cuál fuera el término del medio, una de estas ecuaciones solamente tiene como incógnita a $r$, y multiplicando por $r$ o $r^2$ si es necesario, hacemos que todos los denominadores desaparezcan, y obtenemos una cuadrática en $r$, que podemos despejar sin problemas usando la resolvente. Entonces obtenemos la razón de la progresión, y teniendo uno de los términos, podemos obtener los otros.
1  
Queda Elegantemente Demostrado

Responder